多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21 x g x g x g TS p决策空间：}0)({ x g x X i 目标空间})({X x x f F两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
（９）字典序数法和多属性效用理论法等。
二、几种常见方法简介及应用1．加性加权法（1） 基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。
虽然价值函数很难确切描述，但决策者认为效用合成可用加性，另外，每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。
（2） 符号说明：ij y :第i 个方案关于第j 个属性的取值；ij z :ij y 的规范值；j w :第j 个属性的权重；i v :第i 个方案的综合取值(3)加性加权模型：1max ii mv1ni j ijj v W Z1,......i m1,......j n（１）ij z 的规范算法：max max min ij ij ij ij ijY Y Z Y Y当为j 成本型时，min max min ij ij ij ij ijiiY Y Z Y Y 当j为效益型时，0,1ij Z ,当1ij Z 时，最优；0ij Z 时，最差。
规范后ij Z 是越大越优的。
Note :特殊问题的规范化值例子：人员招聘中对人的满意度的评价――――公务员的招聘（4）权重Wi 的求解 ――关键两种：一是直接由决策者给出；二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。
由决策者对目标的成对比较，来导出属性目标的权重：成对比较矩阵 ij n n A aij a :第i 个目标相对于第j 个目标的重要性（按1-9比例标度赋值，这是根据心理学家的研究，认为人们区分信息等做的极限能力为7±2，标度1，3，5，7，9对应于两因素相比为同等重要，略微重要，比较重要，非常重要和绝对重要，而2，4，6，8表示两判断之间的中间状态对应的极度值） 成对比较矩阵性质：正互反性jia 1a ij，0W 0A max 且存在时，,n ；A 为一致阵0 i max ,n例1：143214134132312231214321A n 1)( A r 理论说明：二阶．三阶虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性，因而判断矩阵A 未必是一致阵。
但是仍要求A 有大体上的一致性。
也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的逻辑谬误。
因此对A 需作检验，关于A 的一致性检验分如下几步： （1） 计算一致性指标max 1nCI n(２)(2)查找相应的平均一致性指标RI表1：1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RI（３）计算一致性比例CRCICR RI(３) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。
利用上述成对比较矩阵，可采用和法，根法，特征根法，最小平方法来计算权重，具体方法如下：和法： 111n iji n j kjk a W n a 1,2,......i n ，11nii w（４）例 2131231321311A 1593.01 W 5889.02 W2578.03 W如果已求得各权重向量1w ，…wn ，则 max 也可由下式计算得到：111max nijjnj ia wn w(５)根法： 11111n nij j i n n n kj k j a W a1,2,......i n ，11ni Wi（６）1507.01 W 5753.02 W 2740.03 W 特征根法： max 0A I W 12,,......Tn W W W W11ni Wi 得 唯一正解 （７）0536.3max 1571.01 W 5936.02 W 2493.03 W 最小平方法: 211min nnij j i i j a w w11ni Wi （条件极值求得）（jiw wij a ） （８） 1735.01 W 6059.02 W 2206.03 W迭代法：131231321311A3131310ek k Ae e 12206.06176.01618.010e7500.07648.13677.02e2602.06122.01301.07500.07648.13677.08825.2120e ．．．．．． 注意：差异不大，可根据具体情况选择使用计算实例：控制仪器的购买某人拟购买一个控制仪器，现有四种产品可供选择。
每种产品的满意度用4个目标去衡量，即：可靠度，成本，外观和重量。
每个目标对应的属性值都可以量化。
每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示的1X ,2X ,3X ,和4X 分别代表4个产品。
在这4个目标中，可靠度和外观的值越大越好，成本和重量值越小越好。
试帮助该人确定这四种仪器的优势。
仪器购买的决策矩阵表1方案4X 的每个属性值都劣于方案1X 的每个属性值，故方案4X 是一劣解，将其从方案集中排除，则待选方案为 1X ,2X ,3X 。
对效益型属性1f ,3f 和成本型属性 2f ,4f 利用（3）和（2）将方案1X ,2X ,3X 的属性进行规范化处理，得：10100.50.50.510100.333Z设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵；124512122141211151211A（一致性检验不能少！） 采用（4）式（111n iji n j kjk a W n a ）计算得：10.5174W , 20.2446W ,30.1223W , 40.1157W最后计算得三个方案1X ,2X ,3X 的目标值i V 为：1ni j ij j V W Z 故10.6397V ,20.5579V ,30.2831V因此，四种产品的选择顺序为： 1234X X X X2 基于理想解的排序模型（目标规划法）（1）基本假设1. 属性描述用基数定量描述，且相互独立；2. 决策者偏好用权 （2）符号说明*j Z ：各属性规范化后的最优值，*x ：理想解，即*x 所对应的各属性值都是规范化后的最优值 i S ：第i 个方案与理想解的测度（2） 基于理想解的排序模型2*11min min ni jijji m ij S w ZZ（９）如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同，可用如下模型计算：2*11min min ni ijji m ij S ZZ （10）注意：ij Y 的规范化可采用如下的方法：21ij mij i Y Z Y211mij i Z （11）理想解*x 的各个属性值 *1,2,......j Z j n 的确定可用如下方 法''1,2,3......,J J n J J U I应用——控制仪器的购买（内容如上）首先排除劣解X4，将各方案的各个属性利用（11）式规范化得：0.66740.65540.64620.70710.57210.57340.57440.35360.47460.49150.50260.5893Z因此得理想解*x 的各个属性分量为：0.66740.49150.64620.3536权重仍用加性加权模型的结果，即各个权重的属性分量为：0.51740.24460.12230.1157代入（９）式计算得：10.1464S ，20.0835S ，30.1672S即四种产品的选择顺序为：2134X X X X3 线性分配模型（1） 基本假设1. 属性描述采用序数形式，决策者的偏好仍用权来表示2. 对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列。
（2） 符号说明：ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称ijm nW W 为权矩阵。
在权矩阵中，如第k 行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。
（3） 线性分配模型 例 已知决策矩阵如下：设权为：)3.0,1.0,1.0,3.0,2.0( W构造权矩阵：3.04.03.03.05.02.04.01.05.0W （行为方案，列为名次） ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称ijm nW W 为权矩阵。
在权矩阵中，如第k 行中对应L 列的元素最大，则方案i X 有最大的可能排在第L 列。
最优决策应使最终排序下权矩阵中对应的总权之和最大，由此可知，这是一个指派问题：11max m nij ij i i W P如存在某一属性下的两个方案并列，可将该属性拆分为两个子属性，并分别赋一半的权重。
控制仪器的购买算例首先，将决策矩阵转化为序数形式。
1f （可靠性）2f （成本） 3f （外观） 4f （重量）一 1X 3X 1X 2X 二 2X 2X 2X 3X 三 3X 1X 3X 1X 四4X4X4X4X确定各个目标的权重。
仍用模型加行加权模型的结果，即(0.57140.24460.12230.1157)T W属 性名次计算权矩阵12340.639700.363000.11570.8834000.24460.11570.639700001X X W X X第一 第二 第三 第四所以最优的排序结果为1234X X X X ，此时对应的指派问题的解为112233441P P P P ，其余0ij P4 层次分析法层次分析法（The Analytic Hierarchy Process 即AHP ） 是二十世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标决策评价法。