0 2 6
6 2 3
2 r2 r3 0
12
0 0
3 0 9
2 0 6
2 6 3
1 r4 3r2
22
1
0
0 0
2 3 0 0
1 2 0 0
0 2 6 3
2
1
r4
1 2
r3
1 0
2 1
0 0
2 3 0 0
1 2 0 0
0 2 6 0
2
1 2 0
=
B
则 B 即为所求的与 A 等价的阶梯形矩阵. （2）求逆矩阵
高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是
a11
( A,b)
a21
an1
a (0) 11
a (0) 12
a (0) 13
a a (1)
(1)
22
23
a (2) 33
a (2) n3
a12 a22
an2
a (0) 1n
a (1) 2n
a (2) 3n
a (2) nn
a1n a2n
ann
解线性方程组的消元法及其应用
（朱立平 曲小刚）
教学目标与要求
通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消 元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.
教学重点与难点
教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. 教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.
b(2) n
a (0) 1n
a (1) 2n
a (1)
nn
(0)
r3
a3(12) a2(12)
r2
b 1 (1)
r4
a4(12) a2(12)
r2
b 2
(1) b n
rn
an(12) a2(12)
r2
a (0) 1n
a (1) 2n
a (2) 3n
a (n1)
nn
b(0) 1
A I
I A 1
.
例2 求矩阵 A 的逆矩阵
1 1 1 A 1 0 2.
1 2 1
1 1 1 1 0 0 r2 r1 1 1 1 1 0 0 (1)r1
解 ( A, I ) = 1 0 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0
1 2 1 0 0 1 r3r1 0 1 2 1 0 1 r3r2
（3.2）
a1(10)
x1
a (0) 12
x
2
a (0) 1n
xn
b(0) 1
a (1) 22
x2
a (1) 2n
xn
b (1) 2
a (1) n2
x2
a (1) nn
xn
b (1) n
第二步，设
a (1) 22
0 ，保留第二个方程，消去它以下方程中的含 x2 的项，得
a1(10)
x1
a (0) 12
(1)
a21x1a22 x2a2n xn b2
(2)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
(n)
（3.1）
若系数行列式 det A 0 ，即方程组有唯一解，则其消元过程如下：
第一步，设方程（1）中 x1 的系数 al1 0 将方程 (l) 与（1）对调，使对调后的第一个方程 x1
的系数不为零.作 i ai1 (1) (i 2,3,n) ，得到同解方程组 a11
x2
a (0) 13
x3
a (0) 1n
x
n
a (1) 22
x2
a (1) 23
x3
a
(1) 2n
xn
a (2) 33
x3
a (2) 3n
xn
b(0) 1
b (1) 2
b(2) 3
a
(3) n3
x3
a
(3) nn
xn
b (3) n
（3.3）
照此消元，直至第 n 1步得到三角形方程组
a1(10)
定义 2 下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：
i. 互换矩阵的两行（例如第 i 行与第 j 行，记作 ri rj ）， ii. 用数 k 0 乘矩阵的某行的所有元素（例如第 i 行乘 k ，记作 kri ）， iii. 把矩阵某行的所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第 j 行的 k 倍加
x1
a (0 12
)
x2
a (0) 13
x3
a (0) 1n
xn
a (1) 22
x2
a
(1) 23
x3
a (1) 2n
xn
a (2) 33
x3
a (2) 3n
xn
b(0) 1
b (1) 2
b(2) 3
a x (n1) nn n
b (n1) n
（3.4）
接下来的回代过程首先由（3.4）的最后方程求出 xn ，依次向上代入求出 xn1, xn2 , x1 即可.
b (1) 2
b(2) 3
b (n1) n
注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换(某个方程乘非
零常数 k；一个方程乘常数 k 加到另一个方程，对换两个方程的位置)，将其化为同解的阶梯
形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯
矩阵.因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换
b a 1
r2
a21 a11
r1
r3
a31 a11
r1
(0) 11
b 2
bn
rn
an1 a11
r1
a (0) 12
a (1) 22
a (1) n2
b(0) 1
a (0) 11
a (0) 12
a (0) 13
b (1) 2
b(2) 3
a a (1)
(1)
22
23
a (2) 33
利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步：
a) 将矩阵 A 与同阶的单位方阵 I 拼成 ( A, I ) ；
b) 对 A 施行初等行变换，目标是将 A 变换成 I ； c) 当 A 变换为时，原来的 I 变换成 A1 ，即 ( A, I ) (I , A1 ) .
注：若将
A,
I
拼成
IA
，只能施行初等列变换，即
(3)
解 （1） (1)(2) 4x1x122x2x275x3 4 2x1 x2 3x3 1
(1) (2)
(1)( 4 ) ( 2 )
(1)(2)(3)
6x1x2
2
x2 7 5x3
24
(1) (2)
(3)
5x2 3x3 13 (3)
(2)( 5 )(3)
x1
2x2
7
(1)
6 6x2 5x3 24 (2)
教学过程设计
1.问题的提出
由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方
程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量
也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.
引例 解线性方程组
4x1x122x2x275x3 4
(1) (2)
2x1 x2 3x3 1
教学方法与建议
先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具 体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程 组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最 后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。
1
1
1
1
0
0
r1 r3 r2 r3
1
0
0
4
3
2
0 1 1 1 1 0 0 1 0 3 2 1
0 0 1 2 1 1 r1r2 0 0 1 2 1 1
所以
A 1
4 3
3 2
2 1.
2 1 1
到第 i 行上，记作 ri krj ）.
同理可以定义矩阵的初等列变换.
定义 3 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B ，则称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~
B.
注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵.
3. 高斯消元法
对于一般的 n 阶线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
7 6
x3
7
(3)
用回代的方法求出解即可.
问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1）交换方程次序，（2）以
不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的 k 倍.那么对于高阶方程组来说，
是否也可以考虑用此方法.
2.矩阵的初等变换
定义 1 阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加 而增加的矩阵.
矩阵的两列，相应地未知元也要对换.
4. 应用
（1）化矩阵为阶梯形
例 1 试用消元法化 A 为阶梯形矩阵，
1 2 1 0 2
A
2 2 3
4 1 3
2 0 3
6 6
2 3
3 4
解
r2 2r1 1 2 1 0 2
1 2 1 0 2
0 r3 2r1
A
r4 4r1
0 0
0 3 9