2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题(三) 数学
时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．其中多项选择题全部选对得 5 分，部分选对得 3 分， 有选错或不选得 0 分．)
1．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分 100 分)中得分情况的茎叶图，则下列说法 错．误．的是 ()
[答案] 3
8．已知实数 a≠0，对任意 x∈R，有(1－ax)5＝a0 ＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，且 4a1＋a2＝0，则 a0＋a1＋a2 ＋…＋a5＝________．
[解析] 由二项式展开式的通项公式得 a1＝C15(－ a)，a2＝C25a2，由 4a1＋a2＝0，a≠0，解得 a＝2.令 x ＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝(1－2)5＝－1.
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 对任意 x∈R，(ex－a)ax＋1e≥0 恒成立， ①易知 a＝0 时满足题意； ②a<0 时，ex－a>0，但不一定对任意 x∈R，ax＋1e≥0 成 立，舍去． ③a>0 时，由题意知 f(x)＝0 的两根 x1＝x2，即 ln a＝－a1e. 令 φ(x)＝ln x＋e1x，φ′(x)＝exe－ x2 1＝0，x＝1e， ∴φ(x)≥φ1e＝0， 故 ln a＝－e1a恰有一根 a＝1e. 综上，满足条件的 a 的个数为 2.
2.
当 x＝34，即 x2＋1＝34时，m 取到最小值，解得 x2
＝－14，a＝－x2（x12＋1）＝136，
∴当 m 取到最小值时所对应的 a 的值为136.
[答案] BD
4 ． 已 知 函 数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ) ω>0，|φ|<π2 ， A13，0为 f(x)图象的对称中心，若图象上相邻两个极 值点 x1，x2 满足|x1－x2|＝1，则下列区间中存在极值点 的是( )
A.－π6，0 B.0，12 C.1，π3 D.π3，π2
[解析] 由|x1－x2|＝1 得T2＝1，ω＝π，∵A13，0为 f(x)的对称中心，∴13×π＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－π3，∴f(x) ＝sinπx－π3，∴f(x)的极值点为 πx－π3＝π2＋kπ，x＝56＋ k，k∈Z，当 k＝－1 时，x＝－16∈－π6，0.
[解析] (1)如图，作 B1O⊥AB 于 O，连接 OD.
∵AB＝BB1＝2，∠B1BA＝60°，∴BO＝1，O 为 AB 中点，
又 D 为 BC 中点，∴OD∥AC. 由 B1D⊥AB，B1O⊥AB，B1D∩B1O＝B1，∴AB⊥ 平面 B1OD， AB⊥OD，∴AB⊥AC.
(2)由侧面 ACC1A1 为正方形，得 AC⊥AA1，结合 (1)得 AC⊥平面 ABB1A.在平面 ABB1A 内作 AE⊥AB， 故以 A 为坐标原点，射线 AB，AC，AE 分别为 x，y， z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图所示．
所以綈 p 为真命题时，a>4.因为 a>3m＋1 是綈 p 为
真命题的充分不必要条件， 所以 3m＋1>4，故 m>1， 则 m 的取值范围为(1，＋∞)．
[答案] A
3．(多选)已知 f(x)是定义在 R 的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝x3－3x，则( )
A．f(x)在(－∞，－1)上单调递增 B．f(x)的最小值为－2 C．不等式 f(x)<0 的解集为[－ 3， 3] D．方程 f(x)＋1＝0 有 4 个不同的实数解
[答案] －1
9．过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角 为锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段 AB 的中 点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN|
＝ 33|AB|，则 l 的斜率为__________．
[解析] 分别过 A，B，N 作抛物线的准线的垂线， 垂足分别为 A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝
则 h′(x)＝1x－43x2＝4x4－x23，
令 h′(x)＝0 得 x＝34，∴h(x)在12，34上单调递减，
在34，1上单调递增．
∵h12＝1－ln 2，h(1)＝14，h34＝12＋ln34，h12>h(1)，
∴h(x)∈12＋ln34，1－ln
2.
即
m
的取值范围是12＋ln34，1－ln
BG 上运动．
在等腰三角形 A1BG 中，A1G＝BG＝ 5，A1B＝2 2，作 A1H⊥BG 于 H，由等
面积法可求得
A1H
＝
2
30 5
，
则
A1H≤A1P≤A1B，∴A1P
的取值范围是2
530，2
2.
[答案]
2
530，2
2
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分．解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．)
由条件得 φ(x)＝ax2＋ax＋1＝0 有两根 x1，x2， 满足－1<x1<x2.
∴Δ>0，∴a<0 或 a>4；
∵函数 φ(x)的对称轴为 x＝－12，－1<x1<x2，x1
＋x2＝－1，∴x2∈－12，0.
∵ax22＋ax2＋1＝0，∴a＝－x2（x12＋1），
∴f(x2)＝ln(x2＋1)＋a2x22＝ln(x2＋1)－2（xx2＋2 1）.
则 A(0，0，0)，D(1，1，0)，C1(－1，2， 3)， B1(1，0， 3)，
则A→D＝(1，1，0)，A→C1＝(－1，2， 3)，B→1D＝(0， 1，－ 3)，
设平面 C1AD 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则nn··AA→→DC1＝＝00，，x－＋xy＋＝20y，＋ 3z＝0， 故可取 n＝(1，－1， 3)， 则 cos〈n，B→1D〉＝nn··BB→→11DD＝－52，
[解析] 当 x≥0 时，f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3， 令 f′(x)＝0 得 x＝1，所以 f(x)在(0，1)单调递减，在 (1，＋∞)单调递增，又 f(x)为偶函数，所以 f(x)在(－ ∞，－1)上单调递减，A 错；易知 f(x)min＝f(1)＝－2， B 正确；由函数的草图易知，C 错，D 正确．故选 BD.
A.甲得分的平均数比乙大 B．甲得分的极差比乙大 C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位数和乙相等
[答案] B
2．已知命题 p：“关于 x 的方程 x2－4x＋a＝0 有
实根”，若綈 p 为真命题的充分不必要条件为 a>3m＋
1，则实数 m 的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] [解析] 由命题 p 为真，得 Δ＝16－4a≥0，则 a≤4.
[答案] A
5．一个正三角形的三个顶点都在双曲线 x2＋ny2 ＝1 的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则 实数 n 的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．( 3，＋∞) C．(－∞，－ 3) D．(－∞，－3)
[解析] 法一：记曲线的右顶点为 A，由条件得过 点 A 且倾斜角为 30°的直线与双曲线右支有交点，数 形结合知，第一象限渐近线的斜率 k＝ －n1<tan 30° ＝ 33，a<－3，则选 D.
[答案] C
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分， 将各小题的结果填在题中横线上．)
x＋y≥0， 7．设实数 x，y 满足x－y＋2≥0， 则 z＝2x－y 的
5x－y－6≤0，
最大值是________． [解析] 画出不等式组表示的可行域如图所示，易知 z＝2x
－y 在点 A(1，－1)处取得最大值 zmax＝2×1－(－1)＝3.
∵x1＋x2＝－1，∴x1＝－x2－1，
∴
x1＋2 8
·f′(x1
＋
1)
＝
1－8 x2 f′(
－
x2)＝
ax22－a8x2＋1＝
4（x21＋1），
∴m＝ln(x2＋1)－2（xx2＋2 1）＋4（x21＋1）＝ln(x2 ＋1)－4（2xx22－＋11）.
令 h(x)＝ln x－2x4－x 3，x＝x2＋1∈12，1，
法二：设正三角形边长为 2m，由题意得三角形 的另一顶点 P(1＋ 3m，m)在双曲线上，代入 x2＋ny2 ＝1 后可解得 m＝－n＋2 33，由 m>0 知 a<－3.
[答案] D
6．已知函数 f(x)＝(ex－a)ax＋1e，若 f(x)≥0(x∈R)恒成立， 则满足条件的 a 的个数为( )
解得 a1＝1 或 a1＝－19(舍)． ∴d＝2，an＝2n－1. 又 log2bn＝(2n－2)log2 x＝log2xn－1(x>0)，∴bn＝xn－1.
(2)cn
＝
1 anan＋1
＝
1 （2n－1）（2n＋1）
＝
1 2
2n1－1－2n1＋1，
①当 x＝1 时，
Tn＝(c1＋c2＋…＋cn)＋( 2 的正方体
ABCD－A1B1C1D1 中，点 E、F 分别是 棱 A1D1，A1B1 的中点，P 是侧面正方 形 BCC1B1 内一点(含边界)，若 FP∥ 平面 AEC，则线段 A1P 长度的取值范 围是______________________．
[解析] 取 B1C1 中点 G，连 FG，GB， 可证平面 FGB∥平面 AEC，故 P 在线段
令 f′(x)＝0 得 x＝ 52－1， 当 x∈－1， 52－1时，f′(x)>0；
当 x∈ 52－1，＋∞时，f′(x)<0， 则 f(x)的单调递增区间为－1， 52－1，单调递 减区间为 52－1，＋∞.
(2) 由 条 件 得
x>