2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（四）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.实数集R，设集合P={x|y=}，Q={x|x2＜4}，则P∪（∁R Q）=（）A. [2，3]B. （1，3）C. （2，3]D. （-∞，-2]∪[1，+∞）2.设x，y∈R，（x+i）x=4+2yi，则=（）A. B. C. 2 D.3.己知命题p：若△ABC为锐角三角形则sin A＜cos B；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠5，则x≠-1或y≠6．则下列命题为真命题的是（）A. p∨（￢q）B. （￢p）∧qC. p∧qD. （￢p）∧（￢q）4.若函数f（x）=|log a x|-3-x（a＞0，a≠1）的两个零点是m，n，则（）A. mn=1B. mn＞1C. mn＜1D. 无法判断5.执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是（）A. s＞55？B. s≥55？C. s＞45？D. s≥45？6.已知α∈（-），cos（）-sin，则sin（）的值是（）A. B. C. D.7.设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为（）A. 22B. 25C. 27D. 308.已知展开式的常数项为15，=（）A. ．πB. ．2+πC. ．D.9.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.10.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）A. B. C. D.11.已知过双曲线的右焦点F（5，0）向两条渐近线引垂线交于P、Q，O为原点，若四边形OPFQ的面积为12，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 或 D. 或12.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f′（x）=e x（2x+3）+f（x）（e是自然对数的底数），f（0）=1，若不等式f（x）-k＜0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A. [-，0）B. [-，0]C. （-，0]D. （-，0）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则实数λ=______．14.在四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=CD，，则BD的最大值为______．15.已知函数，若关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不等的实数根，则b+c的取值范围是______．16.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），直线l：y=x+m与抛物线交于不同的两点A，B，若0≤m＜1，则△FAB的面积的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，其面积，，，在等差数列{a n}中，a1=a，公差d=b．数列{b n}的前n项和为T n，且T n-2b n+1=0，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和为S n．18.国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地．目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁80年龄大于50岁10合计70100（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求女教师人数的分布列与期望．附：K2=，n=a+b+c+d，P（K2＞k）0.1000.0500.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.63519.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．20.已知双曲线的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．21.已知函数，，（1）当x∈[1，e]，求f（x）的最小值，（2）当m≤2时，若存在，使得对任意x2∈[-2，0]，f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3），（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x+2|（1）若存在x使不等式a-f（x）＞0成立，求实数a的取值范围（2）若不等式a+-f（x）≥0对任意的正数a恒成立，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合P={x|y=}={x|-x2+4x-3≥0}={x|1≤x≤3}，Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，∴={x|x≤-2或x≥2}，∴P∪（∁R Q）={x|x≤-2或x≤1}=（-∞，-2]∪[1，+∞）．故选：D．求出集合P，Q，从而求出C R Q，进而求出P∪（∁R Q），由此能求出结果．本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集定义等基础知识考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：A解析：解：根据题意，x，y∈R，（x+i）x=4+2yi，则有x2+xi=4+2yi，则有，解可得：或，当x=2，y=1时，==3+i，此时=，当x=-2，y=-1时，=-=-3-i，此时=，则=，故选：A．根据题意，由复数的计算公式可得，（x+i）x=4+2yi⇒x2+xi=4+2yi，则有，分析可得x、y的值，将x、y的值代入中计算可得答案．本题考查复数与复数模的计算，涉及复数相等的意义，关键求出x、y的值，属于基础题．3.答案：B解析：分析：命题p：由△ABC为锐角三角形，则A+B＞，因此π＞A＞-B＞0，可得sin A＞sin（-B）=cos B，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论本题考查的知识点是复合命题及其真假判断，难度不大，属于基础题．解：命题p：若△ABC为锐角三角形，则π＞A+B＞，因此π＞A＞-B＞0，则sin A＞sin（-B）=cos B，可知是假命题；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠5，则x≠-1或y≠6，其逆否命题：若x=-1且y=6，则x+y=6，是真命题，因此是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q．故选：B．4.答案：C解析：解：令f（x）=0得|log a x|=3-x，则y=|log a x|与y=3-x的图象有2个交点，不妨设m＜n，a＞1，作出两个函数的图象如图：∴3-m＞3-n，即-log a m＞log a n，∴log a m+log a n＜0，即log a（mn）＜0，∴mn＜1．故选：C．令f（x）=0得|log a x|=3-x，画出y=|log a x|与y=3-x的图象，数形结合可得log a m+log a n＜0，即log a（mn）＜0，进而得到答案．本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题5.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得当k=10，s=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45由题意，此时应该满足判断框内的条件，输出k的值为10．可得判断框内应该填入的判断可以是s≥45？故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出相应的变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：由题意：cos（）-sin，即cos-sinα-sinα=，可得：cos（+α）=，即cos（+α）=∵α∈（-），则+α∈（0，）∴sin（+α）=．则sin（）=sin[（+α）]=sin（+α）cos-cos（+α）sin=．故选：B．由cos（）-sin，打开可得cos（+α）=，在求解sin（+α）=，利用和与差即可求解．本题考查的知识点是两角和与差的正余弦公式，构造思想，难度不大，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查简单线性规划的应用及不等式的应用，解决本题，关键是根据线性规划的知识判断出取最值时的位置，即最优解，由此得到参数的方程，再构造出积为定值的形式求出表达式的最小值．作出x、y满足约束条件的图象，由图象判断同最优解，令目标函数值为2，列出a，b的关系式，再由基本不等式求出的最小值，代入求解即可.【解答】解：由题意、y满足约束条件的图象如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，从图象上知，最优解是A（6，8）(其中A是x-y+2=0与2x-y-4=0的交点），故有6a+8b=2，即3a+4b=1，∴=（3a+4b）（）=15+≥15+2=27，等号当且仅当2b=3a，3a+4b=1时成立．即时，的最小值为27．故选：C．8.答案：C解析：解：∵展开式的常数项为15，设常数项为T k+1==×=15，∴，得k=2，∴a4=1，即|a|=1，∴==+=，表示函数y=和x轴在[-1，1]围成图形的面积，而y=表示单位圆在x轴及其上方的部分，故表示半个单位圆的面积．∴==．故选：C．根据可以求出a，然后将定积分转化为函数围成的面积，可以求得结果．本题考查定积分的计算、二项式定理、定积分的几何意义．具有一定的综合性，属中档题．9.答案：B解析：解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，由俯视图知底面等腰三角形的高为2，底边长为2，∴S底面=×2×2=2，∴由正视图知棱锥的高2．∴三棱锥的体积为V=×2×2=．故选：B．三视图可知，该几何体为三棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．本题考查三视图及其应用，棱锥的体积计算，关键是利用三视图判断几何体的形状与相关数据．10.答案：A解析：【分析】本题考查了棱锥与球的位置关系，球的体积，线面角，属于中档题．取AB的中点M，则∠CPM为所求线面角，利用勾股定理和球体积求出PM，即可得出答案．【解答】解：设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过O作OD⊥PA，则D为PA的中点，∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成角．∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴OD=AE==，∵=，∴OP=，∴PA=2PD=2=．∴PM==．∴tan∠CPM==．故选：A．11.答案：D解析：解：根据题意，双曲线的右焦点F（5，0），则a2+b2=25，双曲线的渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，则F到渐近线的距离d==b，即|PF|=|FQ|=b，又由|OF|=c=5，则|OP|=|OQ|=a，则四边形OPFQ的面积S=2××ab=ab=12，又由a2+b2=25，则a=3或4，则双曲线的离心率e==或；故选：D．根据题意，由双曲线的焦点坐标可得c=5，则a2+b2=25，求出双曲线的渐近线方程，进而求出焦点到渐近线的距离d=b，即|PF|=|FQ|=b，分析可得|OP|=|OQ|=a，进而分析可得四边形OPFQ的面积S=2××ab=ab=12，计算可得a的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意用a、b表示四边形OPFQ的面积，属于基础题．12.答案：C解析：【分析】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及方程与不等式的解法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．令G（x）=，可得G′（x）==2x+3，可设G（x）=x2+3x+c，G（0）=f（0）=1．解得c=1．f（x）=（x2+3x+1）e x，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：令G（x）=，则G′（x）==2x+3，可设G（x）=x2+3x+c，∵G（0）=f（0）=1．∴c=1．∴f（x）=（x2+3x+1）e x，∴f′（x）=（x2+5x+4）e x=（x+1）（x+4）e x．可得：x=-4时，函数f（x）取得极大值，x=-1时，函数f（x）取得极小值．f（-1）=-，f（0）=1，f（-2）=-＜0，f（-3）=＞0．∴＜k≤0时，不等式f（x）-k＜0的解集中恰有两个整数-1，-2．故k的取值范围是．故选：C．13.答案：解析：解：；∵；∴=；解得．故答案为：．根据条件可求出，而根据可得出，进行数量积的运算即可求出λ．考查向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，向量的数量积运算．14.答案：3解析：解：四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC=CD，，设∠ACB=α，由正弦定理，=，即sin B=AC•sinα．则CD2=AC2===AB2+BC2+2•=1+2+2•1••cos（π-B）=3-2cos B．∴由余弦定理得BD2=BC2+CD2+2•1•cos（90°+α）=2+CD2-2CD cos（90°+α）=2+（3-2cos B）+2AC sinα=5-2cos B+2sin B=5+4sin（B-45°）≤9，故BD的最大值为3，故答案为：3．设∠ACB=α，由正弦定理得到sin B=AC•sinα．求出则CD2=AC2，利用由余弦定理得BD2=5+4sin（B-45°），可得BD的最大值．本题主要考查两个向量数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．15.答案：（0，3）解析：解：设t=f（x），则方程f2（x）-bf（x）+c=0可化为t2-bt+c=0，设关于t的方程的根为t1，t2，又关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为8个，由图可知：0＜t1＜t2≤1，设g（t）=t2-bt+c，则有，即，此不等式表示的平面区域为ABC所围成的区域，设z=b+c，由简单的线性规划型题型可得：0+0＜z＜2+1，即0＜b+c＜3，故答案为：（0，3）．由方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系得：关于x的方程f2（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为8个，由图可知：0＜t1＜t2≤1，由简单的线性规划的应用得：设g（t）=t2-bt+c，则有，即，此不等式表示的平面区域为ABC所围成的区域，设z=b+c，由简单的线性规划型题型可得：0＜b+c＜3，得解本题考查了方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系及简单的线性规划的应用，属难度较大的题型．16.答案：解析：解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴抛物线的方程为y2=4x由直线l：y=x+m与抛物线方程，联立得x2+（2m-4）x+m2=0，由直线l与抛物线E有两个不同交点，得△=（2m-4）2-4m2=16-16m＞0在0≤m＜1时恒成立；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4-2m，x1x2=m2；|AB|=|x1-x2|=4•又∵点F（1，0）到直线l：y=x+m的距离为d=，∴△FAB的面积为S=d•|AB|=2=•≤•=当且仅当2-2m=1+m，即m=时取等号，即△FAB的面积的最大值为．故答案为：．求出抛物线的方程，由直线l：y=x+m与抛物线方程，联立得x2+（2m-4）x+m2=0，利用根与系数的关系，结合弦长公式，求出直线l被抛物线E所截得弦长|AB|，得出△FAB 面积表达式，利用基本不等式求出最值来．本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，确定三角形的面积，正确运用基本不等式是关键．17.答案：解：（1）由已知，可得，解得a=b=c=2，根据条件可得等差数列{a n}首项为2，公差为2，∴a n=2n，∵数列{b n}的前n项和为T n，满足T n-2b n+1=0①，n∈N*，当n=1时，b1-2b1+1=0，b1=1当n≥2时，T n-1-2b n-1+1=0②，①-②并化简得：b n=2b n-1，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴；（2）∵，∴S n=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）2n-1+n•2n，2S n=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）2n+n•2n+1，以上两式相减得-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=∴解析：本题考查数列的递推关系式以及数列的通项公式的求法，数列的求和的方法，考查计算能力．（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，c，然后求解数列的通项公式；（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．18.答案：解：（1）支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100………………………………………………………………………..（3分）（2）K2==≈4.762＞3.841，所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关．…．（7分）（3）设选出女教师人数为x则p（x=0）=P（x=1）=P（x=2）=…………………………………………………（10分）x012p0.10.60.3（）………………………………．（12分）解析：（1）根据已有数据，把表格数据填写完整即可；（2）求出k2．即可判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关．（3）求出X的人数，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立检验以及离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19.答案：（1）证明：连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD,从而AC⊥SD;（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，则，所求二面角的大小为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，,而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.解析：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强,,属中档题.（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC20.答案：解：（1）由已知A1（-2，0），A2（2，0），设则直线，直线，两式相乘得，化简得，即动点M的轨迹D的方程为；（2）过E（0，2）的直线若斜率不存在则或3，设直线斜率k存在，A（x1，y1），B（x2，y2），，则由（2）（4）解得x1，x2代入（3）式得，化简得，由（1）△≥0解得代入上式右端得，，解得，综上实数的取值范围是．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标，考查计算能力，属于中档题．（1）分别求得A1P与A2Q的方程，两式相乘，化简整理即可求得动点M的轨迹D的方程；（2）当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利益韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得实数λ的取值范围．21.答案：（1），∴，当m≤2时，f（x）在x∈[1，e]上f'（x）≥0，f（x）min=f（1）=2-m，当m≥e+1时，f（x）在[1，e]上f'（x）≤0，，当2＜m＜e+1时，f（x）在x∈[1，m-1]上f'（x）≤0，x∈[m-1，e]上f'（x）≥0，f（x）min=f （m-1）=m-2-m ln（m-1），（2）已知等价于f（x1）min≤g（x2）min，由（1）知m≤2时f（x）在x∈[e，e2]上，而g'（x）=x+e x-（x+1）e x=x（1-e x），当x2∈[-2，0]，g'（x2）≤0，g（x2）min=g（0）=1，所以，所以实数m的取值范围是．解析：本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．（1）求出函数的导数，通过当m≤2时，当m≥e+1时，当2＜m＜e+1时，分别判断函数的单调性求解函数的最小值．（2）已知条件等价于f（x1）min≤g（x2）min，通过函数的导数求解函数的最值，然后推出实数m的取值范围．22.答案：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，即ρ2sin2θ=16ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2=16x；（2）直线l的参数方程改写为（t'为参数），代入y2=16x，得，设A、B对应的参数分别为,∴，，∴,则．解析：本题考查参数方程的运用，属于中档题．（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程即可；（2）直线的参数方程改写为（t'为参数），代入y2=16x，利用参数的几何意义求的值．23.答案：解：（1）f（x）=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3，问题等价于a＞f（x）min=3，故a的范围是（3，+∞）；（2）a＞0，a+≥4（a=2取“=”），由已知可化为f（x）≤（a+）min=4，故|x-1|+|x+2|≤4，当x＜-2时，不等式为：1-x-x-2≤4解得x≥-当-2<x<1时，不等式为：-x+1+x+2≤4解得x无解当x>1时，不等式为x-1+x+2≤4解得x≤故-≤x≤，故x的范围是[-，]．解析：（1）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，求出a的范围即可；（2）问题转化为f（x）≤（a+）min=4，得到|x-1|+|x+2|≤4，解不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想以及函数恒成立问题，是一道中档题．。