函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。

要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数13y x x =-++的值域．解：平方再开方，得42(1)(3),[3,1]y x x x =+-+∈-[2,22]y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】 (1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===++Q +2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例 3.（2015 保定模拟）若函数()121sin 21x xf x x +=+++在区间[](),0k k k ->上的值域为[],m n ，则m n += .【答案】4【解析】记()()122sin 121x xg x f x x +=-=+-+ ()()12sin 1212sin 112x x xg x x x -+-∴-=+--+=--+()()122sin 1sin 102112x x xg x +g x x x +∴-=+-+--=++()()g x g x ∴-=-()g x ∴为奇函数，函数图像关于原点对称.∴函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最大值记为a ,(a >0),则函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最小值为-a()a g x a ∴-≤≤即()2a f x a -≤-≤即()22a f x a -≤≤+2,2m a n a ∴=-=+4m n ∴+=故选D.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.【解析】2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=， ∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用 例 5. （2016 全国新课标Ⅱ）(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>(Ⅱ)'33(x 2)e (x 2)x 2(x)(f(x)a)x a g x x-+++==+ 由（Ⅰ）知，(x)f a +单调递增，对任意[0110,(2)0,a f a a f a a ∈=-<+=≥，）,(0)+ 因此。

存在唯一0(02]x ∈，，使得00f x a =()+，即'0()0g x =，当00x x <<时，'()0,()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，'()0,()0,()f x a g x g x +>>单调递增。

因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -+++===+于是0(),2x e h a x =+由'2(1)()0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增，所以，由0(02]x ∈，得，002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2xe x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),af x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.举一反三：【变式】设函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数）.(I)当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；(II )若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.【解析】(I) ()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()'320x x e kx f x x x --∴=>当0k ≤时，0kx ≤，0x e kx ∴->令()'0f x =则2x =，∴当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.()f x ∴的单调递减区间为()0,2，()f x 的单调递增区间为()2,+∞. (II )由(I)知，0k ≤时，函数()f x 在()0,2内单调递减，故()f x 在()0,2内不存在极值点.当0k >时，设函数()(),0,x g x e kx x =-∈+∞.()'ln x x k g x e k e e =-=-Q当01k <≤时，当()0,2x ∈时，()'0x g x e k =->，()y g x =单调递增，故()f x 在()0,2内不存在两个极值点.当1k >时，得：()0,ln x k ∈时，()'0g x <，函数()y g x =单调递减,()ln ,x k ∈+∞时，()'0g x >，函数()y g x =单调递增, ()y g x ∴=的最小值为()()ln 1ln g k k k =-函数()f x 在()0,2内存在两个极值点()()()00ln 0200ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪∴⎨>⎪⎪<<⎩解得22e e k <<综上所述函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为：2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭.类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .【解析】（I ）依题意得，32,nS n n=-即232n S n n =-. 当2n ≥时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当1n =时，2113121615a S ==⨯-==⨯-. 所以65()n a n n N *=-∈.（II ）由（I ）得[]131111()(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+， 故1111111111(1)()...()(1)277136561261nn b n n n T =⎡⎤-=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦∑. 因此，使得()11(1)26120m n N n *-<∈+成立的m 必须满足1220m≤，即10m ≥, 故满足要求的最小整数m 为10.【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n(n∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：1)31(<f ．【解析】（1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n∈N *)n=1时，a 1=1n≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n-1)=n 2-(n-1)2=2n-1 ∴对n∈N *总有a n =2n-1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)21111()13(21)3333nf n =⨯+⨯++-⋅L =)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n Λ ∴2312111111()12()(21)3333333n n f n +=⋅+++--L 11111213(21)139313n n n -+-=+⋅--- 1222,33n n ++=- ∴11()1133n n f +=-<【变式2】已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，2112()1(1)3n na x x x --++≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．【解析】 （Ⅰ）1321n n n a a a +=+Q ，112133n n a a +∴=+，11111(1)3n na a +∴-=-， 又1213n a -=，1{1}n a ∴-是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --=⋅=，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+，2112()1(1)3n x x x --++2112(11)1(1)3nx x x =-+--++ 2111[(1)]1(1)nx x x a =--+++ 2112(1)1n a x x =-⋅+++211()1n n n a a a x=--++n a ≤， ∴原不等式成立．【另解】设2112()()1(1)3nf x x x x =--++， 则222222(1)()2(1)2()133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x -+--⋅+-'=--=+++ 0x >Q ，∴当23n x <时，()0f x '>；当23nx >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值21()2313n n n f a ==+．∴原不等式成立．由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122222112112112()()()1(1)31(1)31(1)3n na a a x x x x x x x x x +++--+--++--++++++L L ≥221222()1(1)333nn nx x x =-+++-++L ． ∴令22220333n nx +++-=L ，则221(1)12221133()(1)13333(1)3n n nx n n n -=+++==--L ， ∴2212111111(1)133n n n n n n n a a a x n n n +++==>+++-+-L ≥．∴原不等式成立．类型五：解析几何在最值方面的综合应用例7．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。