北京市西城区2015年高三一模试卷数 学（理科） 2015.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1a ≤（B ）1a ≥（C ）0a ≥（D ）0a ≤3. 在极坐标系中，曲线2cos ρ=θ是（ ）（A ）过极点的直线 （B ）半径为2的圆 （C ）关于极点对称的图形 （D ）关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3， 则输出的n 的值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限8. 已知抛物线214y x =和21516y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ）5．若函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）476（B ）233（C ）152（D ）77. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定（A ）(1,3) （B ）(2,4) （C ）3(,3)2（D ）5(,4)2侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π3A =，cos 7B =，2b =，则a =____.12．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．13. 某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答）14. 如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1， 记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单 调增区间是____；最大值为____.BADC三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）设函数π()4cos sin()3f x x x =-+x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)票价(元)17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =, AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE所成角的正弦值为9，求AG 的长；（Ⅲ）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG //平面ABF ？若存在，求出AM MC的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x=，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.FCADBG E20．（本小题满分13分）已知点列111222:(,),(,),,(,)k k k T P x y P x y P x y L (*k ∈N ，2k ≥)满足1(1,1)P ，且111,i i i i x x y y --=+⎧⎨=⎩与11,1i i ii x x y y --=⎧⎨=+⎩(2,3,,i k =L ) 中有且仅有一个成立． （Ⅰ）写出满足4k =且4(3,2)P 的所有点列；（Ⅱ） 证明：对于任意给定的k （*k ∈N ，2k ≥），不存在点列T ，使得112k kki i i i x y ==+=∑∑；（Ⅲ）当21k n =-且21(,)n P n n -（*,2n n ∈N ≥）时，求11k ki i i i x y ==⨯∑∑的最大值．北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 10．2213y x -=11 12．8- 68213．2414． (或写成) 18注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3)cos 23sin 21(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分3cos 32cos sin 22+-=x x xx x 2cos 32sin -= (3)分=π2sin(2)3x -， (5)分因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， (6)分所以 sin(π2)13x -≤，即()2f x ≤， 其中当5π12x =时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为]2,3[-. ……………… 9分（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， ……………… 10分所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36x k -=+， ……………… 12分所以ππ4x k =+或 7ππ12x k =+()k ∈Z ， 所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为π3. …… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， (1)分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． ………………4分（Ⅱ）解：X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. ……………… 5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120， 20120，即12，13，16， (6)分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16．所以111(6)224P X==⨯=，11111(7)23323P X==⨯+⨯=，1111115(8)26623318P X==⨯+⨯+⨯=，11111(9)36639P X==⨯+⨯=，111(10)6636P X==⨯=， (8)分所以随机变量X的分布列为：………………9分所以1151122()67891043189363E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (10)分（Ⅲ）解：(20,22]s∈．………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF=，点G是EF的中点，所以AG EF⊥. (1)分又因为//EF AD，所以AG AD⊥. (2)分因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF I平面ABCD AD=，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD. (4)分（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -， 所以(4,1,)BF t =--u u u r ，(4,4,0)AC =u u u r ，(0,1,)AE t =u u u r. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =r， 由 0AC n ⋅=u u u r r ，0AE n ⋅=u u u r r，得440,0,x y y tz +=+=⎧⎨⎩令 1z =, 得(,,1)n t t =-r. (7)分因为BF 与平面ACE 所成角的正弦值为9，所以 cos ,9||||BF nBF n BF n ⋅<>==⋅u u u r ru u u r ru u u u r r ， (8)分即9=， 解得21t =或2172t =.所以1AG = 或2. (9)分（Ⅲ）解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，设AM ACλ=，则 AM AC λ=u u u u r u u u r，由 (4,4,0)AC =u u u r ，得(4,4,0)AM λλ=u u u r， ……………10分设 (0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =u u u r，所以 (4,4,)MG AG AM t λλ=-=--u u u r u u u r u u u r. ……………11分设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =u r，因为 (0,1,)AF t -=u u u r ，(4,0,0)AB =u u u r，由 0AF m ⋅=u u u r u r ，0AB m ⋅=u u u r u r ，得1110,40,y tz x -+==⎧⎨⎩令 11z =, 得(0,,1)t m =u r， (12)分因为 MG //平面ABF ，所以 0MG m =⋅u u u r u r，即04t t λ+=-，解得 14λ=. 所以 14AM AC =，此时13AM MC =，所以当13AM MC =时， MG //平面ABF . (14)分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x-'=， ……………2分令()0f x '=，解得e x =. ……………3分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当e x =时，函数()f x 有最大值1(e)ef =. ……………4分所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<， 所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分（Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x+-'=， 令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：……………7分所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减， 则当1e nx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =； ……………8分由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x+-'=， ……………9分令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()ng n n=. (11)分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<， 所以曲线ln n xy x=在直线1l y =：的下方，而曲线e x n y x =在直线1l y =：的上方， 所以e()1n n>， ……………12分解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分（II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. …………… 7分由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y , 得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分故2212123()4(1)x x x x x +-=-. (12)分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分 （Ⅱ）证明：由已知，得111i i i i x y x y --+=++，所以数列{}i i x y +是公差为1的等差数列．由112x y +=，得1i i x y i +=+（1,2,,i k =L ）． ……………… 3分故11kki i i i x y ==+∑∑1()ki i i x y ==+∑23(1)k =++++L 1(3)2k k =+． (5)分若存在点列T ，使得112kkki i i i x y ==+=∑∑，则1(3)22k k k +=，即1(3)2k k k ++=． 因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥， 而整数12k +中不含有大于1的奇因子，所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足112kkk i i i i x y ==+=∑∑． (8)分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，1(1,2,,21)i i y i x i n =+-=-L ，所以1221122111()(232)kki i n n i i x y x x x x x n x --==⨯=+++-+-++-∑∑L L12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++L L L ，令1221n t x x x -=+++L ，则11[(1)(21)]kki i i i x y t n n t ==⨯=+--∑∑. (10)分考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--． （1）当n 为奇数时，可得1(1)(21)2n n +-是正整数，可构造数列{}i x ：1111,2,,(1),,(1),(1)1,,222n n n n n ++++L LL 144424443项， 对应数列{}i y ：1,1,,1,2,,,,n n n L L L 14243项．（由此构造的点列符合已知条件） 而且此时，1221(1)11112(1)(1)(1)222n n x x x n n n n --+++=++++++++++L L L 144444424444443个112(1)(1)2n n n =+++++-L1(1)(21)2n n =+-，所以当1(1)(21)2t n n =+-时，11k ki ii i x y==⨯∑∑有最大值221(1)(21)4n n +-． (12)分（2）当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而11(1)(21)22n n +--是离其最近的正整数，可构造数列{}i x ：(221,2,,,,,(1),,(1),2,,22222nn n n n n nn +++L L L L 14243144424443+1)项项，对应数列{}i y ：221,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222nn n n n n nn ++++L L L L 14243144424443（+1)项项，（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)2212(1)(1)2222n nnn n n n x x x n --+++=+++++++++++L L L L 14243144424443个个 12(1)(1)2222n n n nn =++++⨯++⨯-L11(1)(21)22n n =+--，所以当11(1)(21)22t n n =+--时，11k kiii i x y ==⨯∑∑有最大值2211(1)(21)44n n +--． (13)分。