第一节 微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy 2= （1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：12+=x y （4）（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。

根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：4.022-=dt s d （5） 此外，还满足条件：0=t 时，20,0===dtds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dtds v +-==（7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。

把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得0 ,2021==C C把21,C C 的值代入（7）及（8）式得,204.0+-=t v （9）t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020s t ==。

再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。

未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。

本章只讨论常微分方程。

微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。

又如，方程()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。

一般地，n 阶微分方程的形式是,0),,',,()(=n y y y x F （11）其中F 是个2+n 变量的函数。

这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。

例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y外，其他变量都没有出现。

如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程).,,',,()1()(-=n n y y y x f y （12）以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。

这个函数就叫做该微分方程的解。

确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，(),0)](,),('),(,[≡x x x x F n ϕϕϕ那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（11）在区间I 上的解。

例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。

又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。

为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。

例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。

设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是0x x =时，0y y =，或写成 00|y y x x ==其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0x x =时，0y y =，0''y y =或写成 00|y y x x ==，0'|'0y y x x ==其中0x ，0y 和0'y 都是给定的值。

上述条件叫做初始条件。

确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。

例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。

求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作⎩⎨⎧===.|),,('00y y y x f y x x （13） 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。

初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点),(00y x 的那条积分曲线。

二阶微分方程的初值问题⎩⎨⎧=====00'|',|),',,(''00y y y y y y x f y x x x x 的几何意义是求微分方程的通过点),(00y x 且在该点处的切线斜率为0'y 的那条积分曲线。

3、 例题例1 验证：函数kt C kt C x sin cos 21+= （14）是微分方程0222=+x k dtx d （15） 的解。

解 求出所给函数（14）的导数,cos sin 21kt kC kt kC dtdx +-= )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dtx d +-=--= 把22dtx d 及x 的表达式代入方程（15）得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。

小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题作业：《高数》第325页 2、4、5题第二节 可分离变量的微分方程教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法教学重点：可分离变量的微分方程的解法教学难点：可分离变量的微分方程的解法教学内容：本节开始,我们讨论一阶微分方程),('y x f y = (1)的一些解法.一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:0),(),(=+dy y x Q dx y x P (2)在方程(2)中,变量x 与y 对称,它既可以看作是以为x 自变量、y 为未知函数的方程 ),(),(y x Q y x P dx dy-= )0),((≠y x Q ,也可看作是以x 为自变量、y 为未知函数的方程),(),(y x P y x Q dy dx-= )0),((≠y x P ,在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程x dx dy2=，或 .2xdx dy =把上式两端积分就得到这个方程的通解：C x y +=2。

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。

例如，对于一阶微分方程22xy dx dy=（3）就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。

原因是方程（3）的右端含有未知函数y 积分⎰dx xy 22求不出来。

为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以2ydx ，使方程（3）变为 xdx y dy 22=， 这样，变量x 与y 已分离在等式的两端，然后两端积分得C x y+=-21 或 C x y +-=21 （4） 其中C 是任意常数。

可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。

一般地，如果一个一阶微分方程能写成dx x f dy y g )()(= （5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程（5）中的函数)(y g 和)(x f 是连续的，设)(x y ϕ=是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式.)()(')]([dx x f dx x x g =ϕϕ将上式两端积分，并由)(x y ϕ=引进变量y ，得⎰⎰=dx x f dy y g )()(设)(y G 及)(x F 依次为)(y g 和)(x f 的原函数，于是有C x F y G +=)()( （6）因此，方程（5）满足关系式（6）。

反之，如果)(x y Φ=是由关系到式（6）所确定的隐函数，那么在0)(≠y g 的条件下，)(x y Φ=也是方程（5）的解。

事实上，由隐函数的求导法可知，当0)(≠y g 时，,)()()(')(')('y g x f y G x F x ==Φ 这就表示函数)(x y Φ=满足方程（5）。

所以如果已分离变量的方程（5）中)(y g 和)(x f 是连续的，且0)(≠y g ，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。

又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。

例1 求微分方程xy dxdy 2= （7） 的通解。

解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得xdx ydy 2= 两端积分 ,2⎰⎰=xdx y dy得 ,ln 12C x y +=从而 2112x C C x e e ey ±=±=+。

又因为1C e ±仍是任意常数，把它记作C 便得到方程（7）的通解2x Ce y =。

例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。