第一章
勾股定理
D
E
G
E
C
(
：
■
「 B
5
£ P
①
②
③
2.如图，EF 是正方形两对边中点的连线段，将/
A 沿DK 折叠，使它的顶点 A 落在EF 上的G
点，求/ DKG 的度数.
3.已知Rt △ ABC 中，/ ACB=90°, CA=CB 有一个圆心角为 45°，半径长等于 CA 的扇形 CEF 绕点
C 旋转，直线 CE CF 分别与直线 AB 交于点M N.
(1) 如图①，当AM=BN 寸，将△ ACM 沿 CM 折叠，点A 落在弧EF 的中点P 处，再将△ BCN
沿CN 折叠，点 B 也恰好落在点
P 处，此时， PM=AM PN=BN △ PMN 的形状是
________________ .线段AM B2 MN 之间的数量关系是 _________________________________ ; (2) ___ 如图②，当扇形 CEF 绕点C 在/ ACB 内部旋转时，线段 MN AM BN 之间的数量关 系是 ____ __________ •试证明你的猜想；
(3) __________ 当扇形 CEF 绕点C 旋转至图③的位置时，线段 MN AM BN 之间的数量关系是 _____________ .(不要求证明)
C. 5cm
D. 6cm
1.1探索勾股定理
专题一 有关勾股定理的折叠问题
1.如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠， 使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处， 折痕为MN 则线段CN 长是( )
A . 3cm
B . 4cm
专题二勾股定理的证明
4. 在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的
直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性.
问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S' + S〃与S的关系（如图1）. 问题2:以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S' +S'与S的关系（如图2）.
问题3:以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S' + S〃与S的关系（如图3）. 5. 如图，是用硬纸板做成的两
种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b,斜边长为c;图②中两直角边长为c.请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形.
（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理.
（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）.
C
1.2 一定是直角三角形吗
专题判断三角形形状
1. 已知a, b, c为厶ABC的三边，且满足a1 2c2-b 2c2=a4-b4,则它的形状为( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
2. 在厶ABC中, a=mi+n2, b=m i-n2, c=2mn,且m>n>0,
(1)你能判断厶ABC的最长边吗？请说明理由；
(2 )△ ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明.
1请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n> 1)的代数式表示a, b, c.
2猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想.
1.3勾股定理的应用
专题 最短路径的探究
1. 编制一个底面周长为 a 、高为b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱
表面绕织一周的竹条若干根，如图中的
ACB ， AC 2B 2,…，贝U
每一根这样的竹条的长度最少是 ________________ . 2. 请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为 5dm, BC 是底面 直径，
求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线 小明设计了两条路线： 路线1 :侧面展开图中的线段 AC.如下图（2）所示：
路线1
:
l 12 AC 2
路线2 : l 22 (AB BC)2
5
•T 2
-l
1
l 2
• I I2 ,
(11)
丨2（填 ＞
或＜）
所以应选择路线 _____________ （填1或2）较短.
⑵请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r,高为h 时，应如何选择上
面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到
C 点的路线最短.
Ci C1
2
设路线1的长度为|1，则丨1
AC 2 AB 2 BC 2 52 (5 )2 25 25 2 ；
路线2:高线AB +底面直径 BC 如上图（1） 设路线 2的长度为|2 , 则l 2
2
(AB BC)2
(5 10)2
225
比较两个正数的大 小，有时用它们的 平方来比较更方便
I 12
丨22
25 2 2
25 2 225 25
200
25( 2
8) 0.
••• I 12 I 22
|1 |2
所以要选择路线 （1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的
底面半径为1dm,高AB 为5dn”’继续按前面的方式进行计算 请你帮小明完成下面的计算： 2较短。

所示,
18
3. 探究活动：有一圆柱形食品盒，它的高等于
8cm,底面直径为—cm,蚂蚁爬行的速度为
2cm/s.
(1)如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么
它至少需要多少时间？(盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号)
(2)如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点至少需
要多少时间？(盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计)
勾股定理培优题
例1如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，?
若其长BC为a,宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少？
例2•如图2-3，把矩形ABCDft直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上,
已知AB=?3 BC=7重合部分厶EBD的面积为_________ .
例3 已知：如图2-7所示，△ ABC中, D是AB的中点，若AC=12 BC=5 CD=6 5.
求证：△ ABC是直角三角形.
例 4 如图2-10，△ ABC中, AB=AC=20 BC=32 D 是BC上一点，且ADL AC，求
BD的长.
B D
例 5 如图 2-12 , △ ABC 中，/ C=90 , M 是 BC 的中点，MDLAB 于 D. 求证：
A D=A C+
B D .
例6在Rt ABC 中， C 90 , CD AB 于D,求证:
/ CB 金90° ,求S 四边形 ABCD
证：
EFA= 90
(1) AB 2
AD 2
DB 2
2CD 2
2
(2) CD AD DB
例7、如图，已知四边形 ABCD 勺四边AB 12,
BC CD 和DA 的长分别为3、4、13、
例8、在正方形ABCD 中 , F 为DC 的中点, E 为BC 上一点,且EC= 1BC ,求
4
B
4
D
例9如图2-21所示.已知：在正方形ABCD^,/ BAC的平分线交BC于E,作
EF丄AC于F,作FGLAB于G.求证：A B=2FG.
n
例10如图2-22所示.人皿是厶ABC的BC边上的中线，求证：
AB+AC=2(AM+BM).
图2—22
例11如图2-23所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.
B
閨2—23
例12如图2-24所示.已知△ ABC中, Z C=9C° , D, E分别是BC, AC上的任意
一点.求证：A D+B E=A B+D E.
例13求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方
的5倍.
作业：
1: 已知：如图，△ ABC中，AB=AC, D为BC上任一点, 求证：AB2—AD2=BD • DC
B E D C
2 已知：钝角BAC , CD垂直BA延长线于D，求证:
2 2 2
BC AB AC 2 AB AD
3、已知：如图，在正方形ABCD中，E, F分别AB, AD上的点，又AB=12,
1
EF=10,A AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE, AF的长
5
检测提高
2 2 2
BD CD 2AD o 5、已知：如图， ABC 中，AB=AC=10, BC=16，点 D 在 BC 上，DA 丄CA 于 A 。

求：BD 的
长。

分析：因为 ABC 中，AB=AC ，可作 AE 丄BC 于E ,
CE ,可求。

根据勾股定理可列方程式求解。

6.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ,点D 落在BC 边的 占F 处 已知： AB=8cm BC=10cm 求 EC 的长。

1、 如图在 ABC 中， BAC = 90 , AD BC
于D,则图中互余的角有
A . 2对
B . 3对
C . 4对
D . 5对 2、
如果直角三角形的两边的长分别为 3、4，则斜边长为 ( ) 3
、 已知：四边形 ABCD 中，BD 、AC 相交于 O ，且 BD
AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 o
4、已知：
AB AC ,且 AB AC , D 在BC
垂直AC ,求证：。