平面向量的数量积及应用
知识梳理：
平面向量的夹角及表示:
(1).平面向量的夹角的定义
(2).范围: 表示方法:
当夹角为0或错误！未找到引用源。

时,则称a与b ,记作: ;
当夹角为9错误！未找到引用源。

时,则称a与b ,记作: ;
2.向量的数量积定义:
3.数量积几何意义与投影的概念:
4.数量积的性质:设a与b是非零向量,e是单位向量,错误！未找到引用源。

是a与e的夹角,
则
①错误！未找到引用源。

= ；②a错误！未找到引用源。

b时，a错误！未找到引用源。

b错误！未找到引用源。

③错误！未找到引用源。

同向量，错误！未找到引用源。

④错误！未找到引用源。

反向量，错误！未找到引用源。

⑤错误！未找到引用源。

|错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

特别地：错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

+2a错误！未找到引用源。

b 错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

-2a 错误！未找到引用源。

b (a+b)错误！未找到引用源。

(a-b)=错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

⑥数量积的运算律: 交换律：；结合律：；分配律：
⑦数量积的坐标运算：；
⑧两向量垂直叛定：；
⑨两向量夹角公式： ；
⑩向量的模及两点间的距离： ；
二、题型探究
探究一：平面向量的数量积运算
例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12错误！未找到引用源。

，求：
○1错误！未找到引用源。

○2错误！未找到引用源。

○3错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

；
○4（2a-b ）错误！未找到引用源。

（a+3b ）
（答案：-10；21；9；-48）
探究二、数量积的综合应用
例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ⋅-)2(=
例3：已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：)(b a -⊥c ；
（2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围.
解：（1）∵ 1||||||===c b a ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，
∴ 0120c o s ||||120cos ||||)(00=-=⋅-⋅=⋅-c b c a c b c a c b a
∴ 0)(=⋅-c b a
（2）∵ 1||>++c b a k ，即1||2>++c b a k
也就是12222222
>⋅+⋅+⋅+++c b c a k b a k c b a k ∵ 2
1-=⋅=⋅=⋅c a c b b a ，∴022>-k k 所以 0<k 或2>k ．
例4：已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）
（1）若|c |52=，且//，求的坐标；
（2）若|b |=,2
5且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：（1）设),(y x =，由//和52|=c 可得：
⎩⎨⎧2002122=+=⋅-⋅y x x y ∴ ⎩⎨⎧42==y x 或 ⎩
⎨⎧42-=-=y x ∴)4,2(=，或)4,2(--=
（2） ),2()2(-⊥+ 0)2()2(=-⋅+∴b a b a 即22
2320,a a b b +⋅-= 222||32||0a a b b ∴+⋅-=
∴ 0452352=⨯
-⋅+⨯b a ， 所以25-=⋅b a ∴ ,1|
|||c o s -=⋅=b a b a θ ∵ ],0[πθ∈ ∴ πθ=.
三、方法提升
运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题，也可以解决有关向量位置关系问题。

四、反思感悟。