中考几何模型解题法研修课论文宋海平第一讲以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。
第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。
本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。
第三讲在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。
第四讲中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。
本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。
第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。
本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。
第六讲本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。
培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。
一、角平分线模型一、精讲精练【模型一】夹角模型OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线，则：∠AOC=90°+12∠B．BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线，则：∠P=12∠A．AD、CD分别是∠EAC、∠FCA的角平分线，图1FEA则： ∠D=90°-12∠B ．1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ．2. （2011黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP =_______________.3. （2011年）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、CD 分别是两个外角的平分线.（1）求证：AC =AD ；（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形.FE DC B A【模型二】角平分线加垂直AB ⊥AC ，AB =AC ，CE 是∠ACB 的平分线，BE ⊥CE ，则: BE =12CF ．4. （2011）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时（如图1），①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；ACEF图2O FECBAFE BAO M N（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）．【模型三】角平分线加平行线OP 是∠MON 的角平分线，AB ∥ON ， 则：OA=AB ．5. （2011宿迁）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度是 _____cm ．ED CBA6. （2011滨州）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.【模型四】四边形对角互补模型∠A +∠C =180°，BD 是∠ABC 的平分线， 则:AD =CD ．7. （2011年前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G . （1）求证：EF =EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．弦图模型。
一、 知识提要1. 弦图基本模型 模型一：图2EABCDFG图1GFD CBE(A )cba模型二：2. 弦图模型之变形二、 专项训练【板块一】弦图基本模型1. 如图，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：22AC AEBC CE．2. 如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ．若BC =12，DC =7，BE ：EC =1：2，则AB 的长为____________．ca b3.在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.【板块二】弦图模型之变形4.（2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为.5.（2011）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．66.（2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．1111相似基本模型三、知识提要1.相似基本模型1：“A”字型相似及其变形2.相似基本模型2：“8”字型相似及其变形四、专项训练1.四边形EFGH是△ABC接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则接正方形边长EF=______.I GHCBA2.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（）A. B. C.3D.3.如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（）MFEDCBAA.5：3B.3：5C.4：3D.3：44.如图，在平行四边形ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：AB等于（）N MFED CBAA.1：3B.1：4C.2：5D.3：85.如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=27，且BD=5，则DE等于_________.6.已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF.CFEDBA7.已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点，求证：MD：ME＝ND：NE.巧用轴对称解线段和差最值【板块一】线段和最小1. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD ，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A．B ．C ．3 D2. 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小时，则∠AMN + ∠ANM 的度数为（ ）A . 100°B . 110°C . 120°D . 130°N ME D CB A3.如图， 在锐角△ABC 中， AB =，∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________.MDCBA4. （2011）已知，如图，二次函数223(0)y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B关于直线:l y x =. （3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 的最小值.x5. 已知四边形P ABQ 在坐标系中的位置如图所示，则当四边形P ABQ 的周长最小时，a = ．【板块二】线段差最大6. （2009眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)． (3)在抛物线的对称轴上找一点M ，使MA MC -的值最大，求出点M 的坐标．CABEFM N 图①大角夹半角模型原题剖析： 如图，已知在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若有∠EAF =45°，求证：BE +DF =EF ．模型提取：题型对比：1.（2008）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．CABE MN实战训练2. （2010改编）边长为2的等边△ABC的两边AB、AC上有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC. 探究：当M、N分别在AB、AC上移动时，△AMN的周长是否为定值？典型特例：3.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，CD=3，设AC=x、BD=y，求y关于x的表达式．4.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠P AQ=100°．设BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式.5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起，A 为公共端点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （D 、E 不与B 、C 重合），设BE =m ，CD =n .（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明； （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量的取值围．6. 如图，在△ABC 中，已知∠BAC =45°，AD ⊥BC 于D ，BD =2，DC =3，求△ABC 的面积．四点共圆【板块一】对角互补1. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DN ⊥AC 于N ，DM ⊥AB 于M ，求证：∠ANM =∠B ．NMD CBA2. 如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD =60°，∠ABC =90°，∠BCD =120°，对角线AC ，BD交于点S ，且DS =2SB ，P 为AC 的中点． 求证：（1）∠PBD =30°；（2）AD =DC ．ABC DPS【板块二】同线段同侧所的角相等3.如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，A在BC的垂直平分线上，D在AC的垂直平分线上，且∠CAD=∠ABD，则∠ABC+∠ADC=（）A．90°B．120°C．150°D．180°4.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形一点，且∠OPB=45°，P A：PB=5：14．则PB=_________．5.如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：∠CFD=∠CAD．。