【全国百强校】广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则
A．B．
C．D．
2. 已知（其中为虚数单位），则的虚部为( )
A．B．C．D．
3. 在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）
A．B．C．D．
4. 若,是第三象限的角,则（）
C．2 D．-2
A．B．
5. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（）
A．B．
C．D．
6. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）
A．B．
C．D．
7. 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不正确的是( )
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱理科
D．样本中的女生偏爱文科
8. 抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A,,垂足为K,则的面积是( )
A．4 B．C．D．8
9. 在平行四边形中，若
则( )
A．B．C．D．
10. 在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆
的右顶点和右焦点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若三点共线，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．或
11. 设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则( )
A．B．C．D．
12. 设是正四面体底面的中心，过的动平面与交于与
的延长线分别交于则( )
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．既有最大值又有最小值，且两者不相等
D．是一个与平面无关的常数
二、填空题
13. 在数列中，，则的值为
______．
14. 已知函数的图象关于直线对称，则___．
15. 在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
16. 已知函数若方程恰有两个不同的实数根
，则的最大值是______．
三、解答题
17. 工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（
在同一水平面内），求之间的距离.
18. 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.
（1）证明：MN⊥PC；
（2）当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值.
19. 在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过
点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．
20. 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
旅游人数
300 283 321 345 372 435 486 527 622 800
（万
人）
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个
回归方程①②
30407 14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，其回归直线的斜率和截
距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果
5．5 449 6．05 83 4195 9．00
表中．
21. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程
（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原
来的倍，得曲线．
（1）写出曲线的参数方程；
（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，求
的值．
23. 已知实数正数x，y满足. （1）解关于x的不等式；（2）证明：.。