闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（测试时间：100分钟，满分：150分）1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次考试不可以使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中，是二次函数的是（A ）223y x x=--； （B ）22(1)y x x =--+； （C ）21129y x x =+； （D ）2y ax bx c =++．2．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，B β∠=，AB = 5，那么AC 的长为（A ）5cos β； （B ）5sin β； （C ）5cos β； （D ）5sin β． 3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y a x b x c =++图像经过点O （0，0），那么根据图像，下列判断中正确的是（A ）0a <； （B ）0b >；（C ）0ab >； （D ）0c =．4．以下说法错误的是（A ）如果0k a =，那么0a =；（B ）如果2a b =-，那么2a b =； （C ）如果23a b =（b 为非零向量），那么a //b ； （D ）如果0a 是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0a a a =．5．已知⊙A 与⊙B 的半径分别是6和8，圆心距AB = 2，那么⊙A 与⊙B 的位置关系是（A ）相交； （B ）内切； （C ）外切； （D ）内含．6．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度 （下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身 高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择 一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高 跟鞋最佳？（A ）4cm ； （B ）6cm ； （C ）8cm ；（D ）10cm ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果230a b b =≠（），那么a b= ▲ ． 8．化简：12(3)33a b b -++= ▲ ．9．抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是 ▲ 的（填“上升”或“下降”）．10．将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为▲ ．11．已知两个相似三角形的相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长之比为 ▲ ．12．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ，如果25DE BC =， 那么AE EC= ▲ ． 13．在直角坐标平面内有一点A （12，5），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ= ▲ ．14．在港口A 的南偏东52︒方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向是▲ ．15．正六边形的边心距与半径的比值为 ▲ （结果保留根号）．16．如图，在△ABC 中，AB = 2AC ，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠B ， 那么ACD ABCS S ∆∆= ▲ ． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，5AB =，3BC =，点P 在边AC 上，⊙P 的半径为1．如果⊙P 与边BC 和边AB 都没有公共点，那么线段PC 长的取值范围是 ▲ ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 3，1tan 2B =．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 计算：24sin 452cos60cot 30tan 601︒︒-︒+︒-．B PC A ． （第17题图） A B C （第16题图）D B A C （第18题图）A B C E D F （第23题图） AB C D E Ｏ （第21题图） ． 20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为OC 的中点，联结BE 并延长，交边CD 于点F ．设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE = ▲ ；（2）填空：向量BF = ▲ ，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量．(注：本题结果用含向量a b 、的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 长为4，AB AC =，联结CO 并延长，交边AB 于点D ，交AB 于点E ，且E 为AB的中点．求：（1）边BC 的长； （2）⊙O 的半径．22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分） 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅垂高度PQ 为9米．区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30︒；区间测速的终点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60︒（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长 (结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:23i =时，求电子眼区间测速路段AB 的长 (结果保留根号）．23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，点E 为△ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．（第22题图） P Q A B v （第20题图） A C E D O B F24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A ′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c=-+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．联结CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果∠CFE =∠DEC ，求点F 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分） 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：△ADE ∽△CDF ，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG ．当△BGE 与△DEH 相似时，求x 的值．（第25题图）xyO（第24题图）（备用图）闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：1．C ； 2．B ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．C ．二、填空题：7．32（或3︰2）； 8．a b -+； 9．下降； 10．（0，-1）； 11．4︰9（或49）； 12．23（或2︰3）； 13．1213； 14．北偏西52︒；15； 16．14（或1︰4）； 17．713PC <<； 18．3- 三、解答题： 19．解：原式24122⨯=⨯…………………………………………………（8分）11)=………………………………………………………（1分）2=………………………………………………………………………（1分）20．解：（1）3344a b -+．（4分） （2）13a b +．（4分）画图及结论正确．…（2分） 21．解：（1）∵CE 过圆心O ，E 为AB 的中点，∴CE 垂直平分弦AB ． ………（1分）∴AC = BC ．……………………………………………………………（1分） ∵AB AC =，∴AB = AC ．……………………………………………（1分） ∴BC = AB ．……………………………………………………………（1分） ∵AB = 4，∴BC =4．……………………………………………………（1分）（2）联结AO ．∵AB = AC ，AC = BC ，∴AB = AC = BC ．∴△ABC 是等边三角形．∴∠ACB =∠BAC = 60°．………………………………………………（1分）又∵CD ⊥AB ，∴AD = BD = 2，1302ACD ACB ∠=∠=︒．…………（1分） ∵OA = OC ，∴∠OAC =∠OCA = 30°．又∵∠OAC +∠OAD =∠BAC = 60°，∴∠OAD = 30°．……………（1分） 在Rt △ADO 中，∠ADO = 90°，得cos AD OAD AO ∠=．∴2cos cos30AD AO OAD ===∠︒．…………………………………（2分）22．解：（1）过点P 作PM // BQ ．根据题意可知：∠PQB = 90°，∠MP A = 30°，∠MPB = 60°．∵PM // BQ ，∴∠MPB =∠PBQ ．∵∠MPB = 60°，∴∠PBQ = 60°．（1分）在Rt △PQB 中，∠PQB = 90°，得cot BQ PBQ PQ∠=．∵PQ = 9，∴=cot 9cot 60BQ PQ PBQ ⋅∠=⋅︒=2分）∴路段BQ 的长为……………………………………………（1分）（2）过点A 作AH // BQ 交PQ 于H ，过点A 作AG ⊥BQ 交QB 延长线于点G ．………………………………………………………………………… （1分）设AG =x ，则BG =．根据题意可得：∠PHA = 90°，HQ =AG =x ，PH =9– x ，AH =GQ =．∵AH // BQ ，PM // BQ ，∴PM // AH ．∴∠P AH =∠MP A ，∴∠P AH =30°．在Rt △PHA 中，∠PHA = 90°，得cot AH PAH PH∠=，cot AH PH PAH =⋅∠．∴=cot30(9)x ︒⋅-，得)x -．………（2分）解得x =2．………………………………………………………………（1分）∴AG =2，BG =∵AG ⊥BQ ，∴∠AGB = 90°．在Rt △ABG 中，∠AGB = 90°，AG = 2，BG =，利用勾股定理，得AB =1分）∴电子眼区间测速路段AB 的长为米．…………………………（1分）23．证明：（1）∵AF CD BC AD ⋅=⋅，∴AF AD BC CD=．……………………………（1分） ∵CD ⊥BA ，∴∠ADF =∠ADC = 90°．……………………………（1分）在Rt △ADF 与Rt △CDB 中，AF AD BC CD=． ∴Rt △ADF ∽Rt △CDB ．∴∠F =∠B ．……………………………（2分） 又∵∠ADF +∠F +∠F AD =180°，∠AEB +∠B +∠BAE =180°，且∠F AD =∠BAE ．∴∠AEB =∠ADF = 90°．∴AE ⊥BC ．…………………………………………………………（2分）（2）∵AE ⊥BC ，BE = CE ，即AE 是BC 的垂直平分线．∴AB = AC ．∴∠B =∠ACB ．………………………………………………………（1分）又∵AE ⊥BC ，∴90AEC ∠=︒，又∵∠ADC = 90°，∴∠AEC =∠ADC∴△AEC ∽△CDB ．…………………………………………………（1分） ∴CE AC BD BC=．………………………………………………………（1分） ∴BC CE BD AC ⋅=⋅．………………………………………………（1分）∵BE = CE ，∴12CE BC =．………………………………………（1分） ∴12BC BC BD AC ⋅=⋅．即22BC BD AC =⋅．……………………（1分） 24．解：（1）抛物线224y x x =-++是回归抛物线． ……………………………（1分）理由如下，当2x =时，将其代入224y x x =-++中，得222244y =-+⨯+=．∴M （2，4）．……………………………………………………………（1分）∴点M 关于坐标原点O 的对称点M ＇的坐标为（-2，-4）．………（1分）当2x =-时，将其代入224y x x =-++中，得4y =-．……………（1分）∴M ＇（-2，-4）在抛物线224y x x =-++上．∴抛物线224y x x =-++是回归抛物线．（2）由22y x x c =-+，得2(1)1y x c =-+-．∴顶点C 的坐标为(1,1)c -．…………………………………………（1分）∴点C 关于坐标原点O 的对称点C ＇的坐标为(1,1)c --．………（1分）又∵顶点C 为抛物线22y x x c =-+的回归点，∴点C ＇在抛物线22y x x c =-+上，即21(1)2c c -=-++．………（1分）∴1c =-．∴这条抛物线的表达式为221y x x =--．……………………………（1分）（3）由（2）中顶点C 为抛物线22y x x c =-+的回归点，可知点E 与点C ′重合， 即点E 的坐标为（-1，2）．………………（1分）∵∠CFE =∠DEC ，∠ECD =∠FCE ，∴△CDE ∽△CEF ．∴CD CE CE CF=．……………………………………（1分）又∵CD = 2，CE ==∴ CF = 10．…………………（1分） ∴点F 的坐标为（1，8）．……………………………………………（1分）25．解：（1）在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =∠BCD = 90°，AB = CD ．又∵∠BCD +∠DCF = 180°，∴∠DCF = 90°，∴∠DCF =∠BAD ． ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF = 90°，∴∠EDF =∠ADC = 90°，∴EDF EDH ADC EDH ∠-∠=∠-∠．∴∠ADE =∠CDF ．……………………………………………………（1分）∴△ADE ∽△CDF ．∴AD DE CD DF=．…………………………………（1分） 又∵AD = 1，CD = AB = 2，∴12DE DF =．……………………………（1分）在Rt △DEF 中，∠EDF = 90°，∴1tan 2DE EFD DF ∠==．…………（1分） （2）∵△ADE ∽△CDF ，∴12AE AD CF CD ==．………………………………（1分） ∵AE = x ，∴2CF x =． ………………………………………………（1分） 在矩形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ．由AB // CD ，得CH CF BE BF=． 又∵21BF x =+，2CH y =-，2BE x =-，∴22221y x x x -=-+．…（1分） ∴ y 关于x 的函数解析式为22221x y x +=+．……………………………（1分） 其定义域为02x <<． …………………………………………………（1分）（3）延长BG ，交射线CD 于点P ．由AB // CD ，得∠BEG =∠DHE ． ……………………………………（1分） ∴当△EDH ∽△BEG 时，可以有以下两种情况：① 当∠DEH =∠BGE 时，ED // BG ，又∵AB // CD ，∴四边形BEDP 是平行 四边形．∴2EB DP x ==-，∴PC x =．∵DH y =，∴2222(2)222121x x x HC y x x +-=-=-=++． ∵AB // CD ，∴HC HG AE GE =，HG PG GE GB =，PG PC GB AB =．∴HC PC AE AB=． 即2(2)212x x x x x -+= 02x <<（），解得x ．∴x =．………………………………………………………（2分） ② 当∠DEH =∠GBE 时，∵EB // DH ，∴∠DEH =∠GBE =∠BPC ．∴tan 2BC BPC PC∠==． ∴14HC PC AE AB ==． 即2(2)1214x x x x -+= 02x <<（），解得32x =． ∴32x =．………………………………………………………………（2分）综上所述，x =或32x =．。