工程数学在工程建设管理的二则应用
单位：马鞍山博力建设监理有限责任公司
*名：***
时间：1999年10月
应用Ⅰ线性回归分析法在施工造价预测中的应用。
根据建设工程建筑面积与工程造价的关系，介绍线性回归主程的建立及可信度的评价及检验。
在建筑生产经营活动中，根据过去和现在的生产活动来估计和推测未来活动的过程叫预测。
把这个过程中的相关变量如建筑面积、工程造价通过建立线性回归方程，进行量化预测。
预测的数据可为企业计划、生产、经营和决策提供可靠的依据。
1、线性回归主程的建立
线性回归分析是定量预测最常用的方法之一，这里拟就建筑面积及工程造价
这二个相关变量建立一个线性回归主程：
Y=a0+a1X
根据：
a0N+a1n∑i=1·X i =n∑i=1·Y i (1)
a0n∑i=1·X i+ a1n∑i=1·X i2=n∑i=1·Xi·Y i(2)
可求得回归系数a0、a1。
以下是我矿近年来建成的12幢砖混结构建筑的建筑面积，造价详见表-1。
根据相关参数中间计算结果，见表-2。
相关参数中间计算表-2
为求解a0、a1，可依据下面的方程组求出回归系数a0、a1列出含有回归系数的方程组：
a0N+a1n∑i=1·X i=n∑i=1·Y i (1)
a0n∑i=1X i+ a1n∑i=1·X i2 =n∑i=1·X i·Y i(2)
12a0+22.735a1=158.072 (1)
22.735a0+48.009a1=332.244 (2)
经求解得:
a
=0.596
a
=6.638
1
这样我们就根据表-1提供的资料建立了一个工程造价Y同建筑面积X的线性回归方程.
Y =0.596+6.638X
根据所建立的回归方程,当预计下一年度拟建1万㎡建筑时即X=10,Y=33.786,即需资金337.86万元。
2、分析预测结果的可信度
只有当相关变量具有线性相关关系时所建立的线性回归方程才有意义。
实际上，
对于任何二个变量的一组数据如X
i ,Y
i
(I=1,2,…n)我们都可以按照上述方法写出一
个线性方程。
这样我们就必须判断X、Y 之间是否存在线性相关关系。
根据表-4计算如下：
F值：
F＝S
回／S
余
·（n-2）
各值计算如下：
X=1/n(n∑i=1·X
i
)=1.895
Y=1/n(n∑i=1·Y
i
)=13.176
Lxx= n∑i=1 (X
i -X)2= n∑i=1·X
i
2-1/n(n∑i=1·X
i
2)=4.936
Lxy =n∑i=1(X
i -X)(Y
i
-Y)=n∑i=1X
i
Y
i
-1/n（n∑i=1X
i
）·（n∑i=1Y
i
）
=32.763
Lyy =n∑i=1(Y
i -Y)= n∑i=1Y
i
2-1/n(n∑i=1Y
i
)2
=225.751
S
余
=Lyy-Lxy2/Lxx=225.751-32.7632/4.936
=8.255
S
回
= Lxy2/Lxx=32.7632/4.936
=217.466
F =S
回/S
余
/（n-2）=217.466/8.255×(12-2)
=263.435
查“概率论讲义”附录表6
F0.05=4.96 F0.01=10.0
F>Fа
如果x、y间的线性相关关系显著，则S
回
值较大，对于给定的显著性水平а，由附录表查得F的临界值Fа，如果F>Fа，则认为二者之间线性关系显著。
应用Ⅱ应用数理统计法评定混凝土的强度质量
根据《混凝土强度检验评定标准》GB107-87的规定，对于混凝土的强度质量评定采用非数理统计法与数理统计法并列的做法。
对于一般结构，使用非数理统计法评定；对于重要结构使用数理统计法进行评定。
用数理统计法对混凝土进行强度质量评定是一种科学方法。
它既可评定混凝土强度质量优劣，还可帮助分析混凝土生产的经济效果，弄清生产中影响质量的关键所在，进而指导改进配合比，并确定最优化的方法。
以下是本人结合我矿工人文化宫工程施工单位送检的砼试块强度报告，按照数理统计法对该楼层（缺少顶层）砼强度予以评定。
一、试块状况
各部件砼试块的制作与养护专人负责，设计标号C20，共计10组，数据见表-1。
1/n∑R i=R=24.68=m fcu (Mpa)
二、质量评定标准
用数理方法评定混凝土强度时，其强度应用时符合下列两式的规定：m fcu-λ1S fcu≥0.9fcu，k (1)
fcu,min≥λ2fcu,k (2)
式中
m fcu ——同一验收批混凝土立方体抗压强度的平均值；
S fcu——同一验收批混凝土强度的标准差；
当S fcu的值小于0.06fcu,k时取S fcu=0.06fcu,k
S fcu
f cu,k——混凝土立方体抗压标准值；
f cu,min——同一验收批砼立方体强度的最小值；
λ
1λ
2
——合格判定系数。
按《现行建筑施工规范大全·4》表5.3.3.1
λ
1=1.7 λ
2
=0.90
二、统计结果及评定
m fcu = R =24.68 (Mpa)
S fcu
根据公式（1）、（2）
24.68-1.7×0.3374=24.1064>0.9×20
f cu,min=24.0>0.9×20
所以可判定砼强度质量符合新规范要求。
三、问题与讨论
1、一般说来，按新规范给定的标准评定砼强度质量等级时，对砼强度质量
起主要影响作用的是标准差S fcu值的大小，S
fcu
是一种衡量数据波动大小的量，如
S fcu值较大，则表明混凝土的实际强度R
i
与平均强度m fcu的差值上下波动，亦即质
量不稳定，强度忽高忽低。
造成S fcu值过大的原因主要有以下三种：
i)搅拌砼人员的操作水平不一致；
ii)配制砼的各种材料计量不准；
iii)配制砼的材料质量不稳定。
2、按新规范中的标准仅能对混凝土的强度质量作定性地评定，即合格或不合格。
无法定
量地评定其质量等级，参照国外评定砼质量等级，按现行国际标准，即用标准差S fcu 及变异系数Cv
Cv = 标准差S fcu/平均强度m fcu
国际标准是当标准差：
S fcu≤2.4 优
S fcu≤3.6 良
S fcu≤4.8 合格
S fcu＞4.8 不合格
变异系数：
Cv＜0.1 优
Cv≤0.1～0.15 良
Cv≤0.2 合格
Cv＞0.2 不合格
本例中 S fcu =0.3374＜2.4
Cv =0.3374/24.68=0.01367＜0.1
显然按照乙方送检的砼试块评定其砼强度等级为优。
参考资料：
1、《概率论讲义》沈恒范编
2、《计算方法》聂铁军编
3、《现行建筑施工规范大全》
4、《建筑技术·1987年第三期》
5：表-5砼试块报告由施工单位矿山建安处提供，编号96-W-2等。
表-1数据由矿工程科提供。