北辰教育学科老师辅导讲义（3）联结P B ，当点P 是AB 的中点时，求△ABP 的面积与△ABD 的面积比ABDABPS S ∆∆的值． 定圆结合直角三角形，考察三角形相似，线段与三角形周长的函数关系2（2010上海）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连接DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ．（1）当∠B=30°时，连接AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若tan ∠BPD=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性问题3．如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径； （3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切4（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．（1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长；（3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．动圆结合直角梯形，考察圆相切和相似5（14分）（2014金山区二模）如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=4，AD=3，sin ∠DCB=，P 是边CD 上一点（点P 与点C 、D 不重合），以PC 为半径的⊙P 与边BC 相交于点C 和点Q ． （1）如果BP ⊥CD ，求CP 的长；（2）如果PA=PB ，试判断以AB 为直径的⊙O 与⊙P 的位置关系；OPD C BA第25题图备用图OC BAABE F CDO（第25题图1）A B EF C D O解得5=x ，即⊙O 的半径为5．………………………………………………（1分） （2）过点O 作OH ⊥AD 于点H ． ∵OH 过圆心，且OH ⊥AD ． ∴x AP AH 2121==．………………………（1分） 在Rt △AOH 中，可得22AH AO OH -=即210042522xx OH -=-=．…………（1分） 在△AOH 和△ACD 中，OHA C ∠=∠，CAD HAO ∠=∠，∴△AOH ∽△ADC ．……………………（1分）∴ACAH CD OH =．即8242-1002xy x =+． 得410082--=xx y ．………………………………………………………（1分） 定义域为540<<x ．…………………………………………………………（1分）（3）∵P 是AB 的中点，∴AP =BP ．∵AO =BO ，∴PO 垂直平分AB ．设α=∠CAB ，可求得α=∠ABO ，α2=∠COB ，α290-=∠οOBC ，α-=∠ο90AOP ，α+=∠ο90ABD ，α+=∠=∠ο902APO APB ． ∴APB ABD ∠=∠．∴△ABP ∽△ABD ．…………………………（1分） ∴ABD ABP S S ∆∆2⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB AP ．………………………（1分） D ABP ∠=∠．由AP =BP 可得PAB ABP ∠=∠． ∴D PAB ∠=∠．∴54==AB BD ，即54=y ．…………（1分）由410082--=x x y 可得510502-=x ，即510502-=AP ．………（1分） ABD ABP S S ∆∆85580510502-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB AP ．……………………………………（1分） 2考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。

专题：几何综合题；压轴题。

分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE 是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP 与△BDP 相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt △PEC 中求得CE 的长；（2）若BD=BC ，可在Rt △ABC 中，由勾股定理求得BD 、BC 的长；过C 作CF ∥DP 交AB 于F ，易证得△ADE ∽△AFC ，根据得到的比例线段可求出DF 的长；进而可通过证△BCF ∽△BPD ，根据相似三角形的对应边成比例求得BP 、BC 的比例关系，进而求出BP 、CP 的长；在Rt △CEP 中，根据求得的CP 的长及已知的CE 的长即可得到∠BPD 的正切值；（3）过点D 作DQ ⊥AC 于Q ，可用未知数表示出QE 的长，根据∠BPD （即∠EDQ ）的正切值即可求出DQ 的长；在Rt △ADQ 中，可用QE 表示出AQ 的长，由勾股定理即可求得EQ 、DQ 、AQ 的长；易证得△ADQ ∽△ABC ，根据得到的比例线段可求出BD 、BC 的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y 、x 的函数关系式． 解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠BAC=60°． ∵AD=AE ，HOPD C BA∴∠AED=60°=∠CEP，∴∠EPC=30°．∴△BDP为等腰三角形．∵△AEP与△BDP相似，∴∠EPA=∠DPB=30°，∴AE=EP=1．∴在Rt△ECP中，EC=EP=；（2）设BD=BC=x．在Rt△ABC中，由勾股定理，得：（x+1）2=x2+（2+1）2，解之得x=4，即BC=4．过点C作CF∥DP．∴△ADE与△AFC相似，∴，即AF=AC，即DF=EC=2，∴BF=DF=2．∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4．∴tan∠BPD=．（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1﹣a．∴且，∴DQ=3（1﹣a）．∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+[3（1﹣a）]2，解之得．∵△ADQ与△ABC相似，∴．∴．∴△ABC的周长，即：y=3+3x，其中x＞0．3考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。

专题：代数几何综合题；分类讨论。

分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；（2）当BD=OB 时，根据（1）的函数关系式求得y=，x=6．分两种情况来解答O 1A 的值①当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE ﹣OO 1=2；②当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6； （3）当点C 为AB 的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=，然后由三角形的内角和定理求得∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC ．根据相似三角形的判定定理AA 证明△DCB ∽△DOC ． 解答：解：（1）过⊙O 的圆心作OE ⊥AC ，垂足为E ， ∴AE=，OE=．∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°﹣∠EOD=∠AOE ，∴△ODE ∽△AOE ． ∴，∵OD=y+5，∴．∴y 关于x 的函数解析式为：．定义域为：．（1分） （2）当BD=OB 时，，．∴x=6． ∴AE=，OE=． 当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE ﹣OO 1=2，．当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6，．⊙O 1的半径为或．（3）存在，当点C 为的中点时，△DCB ∽△DOC ．证明如下：∵当点C 为的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，又∵OA=OC=OB ，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180°﹣∠OCA ﹣∠OCB=45°．∴∠DCB=∠BOC ．又∵∠D=∠D ，∴△DCB ∽△DOC ． ∴存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ．点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE ⊥AC ，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解． 4．解：（1）联结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ．………………（1分）∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF =AE 21=)(21OE AO +．…………………（1分） ∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ．………………………（1分）∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =421642222-=-=-x x OC CE .…（1分）∴42)424(2122-+=-+=x x y . 定义域为2≥x ．……………（1+1分） （2）当点F 在⊙O 上时，联结OC 、OF ，EF =421==OF CE ，∴OC =OB =21AB =4．（分）∴DF =2+442-=2+23．………………………………（1分）（3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=+-x x 032832=--x x ，∴=1x 3744+，=2x 舍去(3744-）．……………………………（1分） ∴DF =37214)37448(21)(21+=++=+BE AB ．…………………（1分） 当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．………………………………（1分） ∴DF =37214)37448(21)(21-=+--=-BE AB ．……………………（1分） 当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．……………………………（1分） ∴DF =327221-=AE ．……………………………………………………………（1分）5.：（1）作DH ⊥BC 于H ，如图1， ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=4，AD=3， ∴DH=4，BH=3，在Rt △DHC 中，sin ∠DCH==，∴DC=5， ∴CH==3，∴BC=BH+CH=6， ∵BP ⊥CD ， ∴∠BPC=90°， 而∠DCH=∠BCP ，∴Rt △DCH ∽Rt △BCP ， ∴=，即=，∴PC=；（2）作PE⊥AB于E，如图2，∵PA=PB，∴AE=BE=AB=2，∵PE∥AD∥BC，∴PE为梯形ABCD的中位线，∴PD=PC，PE=（AD+BC）=（3+6）=，∴PC=BC=，∴EA+PC=PE，∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，设PC=x，则DP=5﹣x，∵PF∥DH，∴△CPF∽△CDH，∴=，即=，解得CF=，∴CQ=2CF=，∴BQ=BC﹣CQ=6﹣，∵PQ=PC，∴∠PQC=∠PCQ，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠PCQ=180°，而∠PQC+∠PQB=180°，∴∠ADP=∠PQB，当△ADP∽△BQP，∴=，即=，整理得2x2﹣25x+50=0，解得x1=，x2=10（舍去），经检验x=是原分式方程的解．∴PC=；当△ADP∽△PQB，∴=，即=整理得5x2﹣43x+90=0，解得x1=，x2=5（舍去），经检验x=是原分式方程的解．∴PC=，∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为或．J8.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；相交两圆的性质；正多边形和圆。