西华大学数学建模竞赛B题：篮球比赛问题专业班级：*******姓名：刁述祥电话：***********姓名：周鑫电话：***********姓名：王飞电话：***********2011年5月28日摘要本文主要研究了某大学篮球比赛中技术指标、成绩、排名等相关问题，并对各篮球队提出了技术方面的相关建议。

针对问题一，本文运用灰色系统理论建立了一个综合评价模型，求解出每支代表队的技术指标与该队成绩之间的关联关系。

首先，本文对每个队的各项指标数据进行统计处理、标准化处理（无量纲化），并求解出各项指标的差数列表。

根据灰色系统理论建立了综合评价模型。

最后通过Excle求解，得出了各个参赛队的技术指标与成绩之间的关联度。

（结果见问题求解及附表）。

针对问题二，本文按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，对这些技术指标进行排序。

本文认为：某项技术指标与成绩的关联度越高，则该技术指标对代表队的成绩的影响越大。

因此，本文将关联度大小做为衡量贡献度大小的依据。

最后对每个学院的各项技术指标进行合理的排名。

（结果见问题求解及附录）针对问题三，本文找出了对各代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。

首先，本文认为关系是否被淘汰的场次、关系是否晋级的场次和积分相同的两支队伍之间的比赛场次是重要的场次。

然后引入关键度的概念，按照关键度的大小对重要场次进行评比，通过这个标准找出了各参赛队的关键的场次。

针对问题四，本文采用综合指数法建立了一个综合评价模型，预测了最后的冠军得主，并且将12支代表队进行了排名。

首先，本文根据积分和得分比，从两个小组选出了四支参加决赛的队伍（A组：数学学院、化学学院B组：信电学院、机电学院）。

然后对各项数据进行归一化处理、标准化处理，建立了一个综合评价模型。

接着本文通过Excle求解，预测数学学院代表队能够获得冠军。

最后本文通过积分数和比分率对未进入决赛的队伍进行排名。

结果如下：1-4名：数学学院、信电学院、机电学院、化学学院5-8名：管理学院、物理学院、测绘学院、生物学院9-12名：能源学院、计算机学院、资源学院、地理学院针对问题五，本文对各个参赛队在技术方面提出了一些建议。

首先，本文将所有参赛队的各项指标分别进行处理，求得各项指标的平均值作为一个参考量。

然后通过作图的方式进行评比，找出各个学院比较落后的技术指标。

最后根据比较结果并参考各项指标的关联度提出了相应的建议。

在模型的优化和推广中，本文考虑了时间安排对结果的影响，提出了增加权重指标进行排名的思想，优化了模型，最后对模型的推广进行了阐述。

关键词：灰色关联度标准化指标综合指数得分比问题重述运动员比赛过程的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一。

篮球竞赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是判定运动队竞赛成绩的客观标准。

某大学有12个学院，每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛。

首先进行分组赛，共分两组，每组6支代表队；小组赛结束后，每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛。

附表1和附表2分别为第一组和第二组的比赛结果。

请你根据这些数据，研究各个代表队的下列问题：（1）每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。

（2）按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，将这些技术指标进行排序。

（3）找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。

（4）根据这两个小组赛的成绩，预测哪支代表队最有可能夺冠，并将这12支代表队的名次进行排序。

（5）对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞技水平。

符号说明i•----和某代表队比赛的其他队伍的编号（i•=1、2、3、4、5）；j----某代表队的17项技术指标（j=1、2、3......16、17）；x----某代表队的球员（x=4、5、6......16）；ζ----灰色关联度模型中的分辨系数，0＜ζ＜1。

R ----进入决赛所必须得到的最低积分Z ----满足第一种情况的所有的场次集合M ----不满足第一种情况且满足第二种情况的所有场次的集合N ----不满足第一二种情况且满足第三种情况的所有比赛场次的集合β----不满足第一二三种情况的其他特殊情况的集合i j K ----某代表队与第 i 代表队比赛时第 j 项指标与总成绩的关联度。

)(x a i j ---某代表队和第 i 队比赛时x 球员第 j 项的指标数； i j X----某代表队和第 i 个队比赛时第 j 项的指标总数。

i j X ----某代表队标准化处理后和第 i 个队比赛时第 j 项的指标总数。

i j X ----某代表队标准化处理后技术指标i j X 与总成绩的i X 1的差值的绝对值。

()i A ----第 i 只代表队的关键场次的集合 j S ∆ ----各项指标的个体指数。

j S ----参加决赛的四支队伍的综合指标。

()j Max ∆----第j 项技术指标与总成绩的标准最大偏差值 ()j Min ∆----第j 项技术指标与总成绩的标准最小偏差值模型假设1、 题目中所给条件和数据是确定的、有效的。

2、 忽略各种外界、主观因素的影响，如：裁判误判、放弃比赛、场地影响等。

3、 默认在所有比赛中所有队伍都是正常发挥，不存下超常发挥、状态不良等情况。

4、 忽略个人对总成绩的影响，队员上场时间不作为技术指标。

5、 假设灰色关联度模型中分辨系数：ζ=0.5 。

6、 每组进行循环赛，每个组共有15场比赛，每个代表队有5场比赛。

7、 假设在小组赛中积分规则为：胜：2分，负：0分，没有平局。

.8、 从积分和比分率两个方面评判是否有资格进入决赛。

9、 关键场次分为三类，一类是决定是否淘汰的场次，一类是决定是否入选决赛的场次，一类如果两支队伍积分相同，则二者比赛的那一场也是关键场次。

模型的建立与求解针对问题一一、问题的分析1、题意分析及简化处理（1）通过对题目的仔细阅读和初步分析我们得到如下信息：➢ 一共有12个学院的12支篮球代表队，每6个代表队为一组进行比赛。

➢ 比赛为小组循环制，因此每个代表队都会参加五场比赛。

➢ 题目中给出了各代表队每场比赛中每个球员上场时间、2分球、3分球、罚球、进攻、防守等相关数据。

➢ 在小组循环赛中没有队伍弃权或放弃比赛。

（2）需要解决的问题：对各个篮球代表队的各项技术指标数据进行统计、计算、分析，得出每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。

（3）在问题的条件和目的明确之后，我们对问题进行初步的分析，提出了如下基本假设和简化运算方法：➢ 默认题中所给每个队的各项技术指标数据能够客观反映一个队的整体水平。

➢ 不用单独的去分析每个队员的各项技术指标情况，而将每一项指标做为一个整体来讨论分析。

简化运算，提高模型的可操作性。

➢ 因为从整体考虑，因此队员上场时间不纳入技术指标的范围。

➢ 最后确定在一场比赛中的技术指标为：2分球、三分球、罚球的进球数、投篮数、命中率、进攻次数、防守次数、攻防合计次数、犯规次数、失误次数、抢断次数、盖帽次数。

➢ 因为12支代表队的各项指标种类一样，因此选取一支代表队作为例子推导建立模型，最后通过建立的模型分别求解其他11支代表队的结果。

2、基本模型的分析推导通过分析，题中所给的各种技术指标的数据没有统一的单位度量，例如：进攻、防守等技术指标的单位是“次数” ，而2分球、3分球命中率是一个比率。

因此需要通过标准化处理（无量纲化），对数据进行统一，然后对处理后的数据进行分析和比较得出各技术指标和成绩之间的关联关系。

通过大量查阅资料，本文选择采用灰色系统中的灰色关联分析法来进行求解。

设：任取一个代表队为T ； 设：i•---和T 代表队比赛的其他队伍的编号（i•=1、2、3、4、5）；设：j ---T 代表队的17项技术指标（j =1、2、3......16、17）； 设：x ---T 代表队的球员（x =4、5、6......16）；设：)(x a i j ----T 代表队和第 i 队比赛时x 球员第 j 项的指标数； 设：i j X ----T 代表队和第 i 个队比赛时第 j 项的指标总数。

)4(i i a )4(i i a )4(i i a )4(i i a )4(i i a )5(i i a )5(i i a )5(i i a )5(i i a )5(i i a已知： )(x a i i =… … … … …… … … … …)14(i i a )14(i i a )14(i i a )14(i i a )14(i i a )15(i i a )15(i i a )15(i i a )15(i i a )15(i i a首先，通过前面的分析，将每一项指标做为一个整体来讨论分析。

因此我们可得，第 i 个队比赛时第 j 项的指标总数为：∑==154)(x i i i jx a X11X 21X 31X 41X 51X 12X 22X 32X 42X 52X可得：i j X = … … … … …… … … … …116X 216X 316X 416X 516X 117X 217X 317X 417X 517X其次，因为所求的指标总数不统一，我们对数据进行标准化处理。

即取在一场比赛中数据作为参考数据，然后将五组数据分别对这组数据进行商运算。

从而得到一组没有量纲的数据，把各种不同单位数据建立有机的联系。

设：i j X ---T 代表队标准化处理后和第 i 个队比赛时第 j 项的指标总数。

设：0j X ----T 代表队在5场比赛中选取的第 j 项的指标总数参考数据。

标准化的各指标总数：0ji j ijXX X =11121X X1131X X1141X X1151X X11222X X1232X X1242X X1252X X可得到：i j X = … … … … …... ... ... ... (1)116216X X116316X X116416X X116516X X1117217X X117317X X117417X X117517X X然后，通过求解出的标准化的无量纲数据，我们可以建立各项指标与总成绩的差数列，从而可以得到各指标对总成绩的偏差范围。

设：i j X ---T 代表队标准化处理后和第 i 个队比赛时第 j 项的指标总数。

设：i j X --- T 代表队标准化处理后技术指标i j X 与总成绩的i X 1的差值的绝对值。

则： i i j i j X X X 1-=0 2122X X - 3132X X - 4142X X - 5152X X - 0 2123X X - 3133X X - 4143X X - 5153X X -计算可得：i j X = … … … … …… … … … …0 21216X X - 31316X X - 41416X X - 51517X X - 0 21217X X - 31317X X - 41417X X - 51517X X -比较所求得的数据我们可以得到每项技术指标有：最大偏差：())Max (j Max 12111i j j X X X X 、=∆ 最小偏差：())Min(j Min 12111i j j X X X X 、=∆设： ζ-----为分辨系数，0＜ζ＜1。