对称矩阵的对角化
（1）求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λm. （2）对每个ki重特征值λi，求(A－λiE)x=0的基础 解系，得ki个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单 位化，得ki个两两正交的单位特征向量.因 k1+…+ks=n， 故总共可得n个线性无关的特征向量. （3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 Q，便有Q－1AQ=QTAQ=Λ.注意Λ中对角元的排列次序 应与Q中列向量的排列次序相对应.
对称矩阵的对角化
根据定理6-15，实对称矩阵A的不同特征 值对应的特征向量两两正交，故这n个特征向 量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵Q， 则Q为正交矩阵，并有Q－1AQ=Λ，其中对角 矩阵Λ含有k1个λ1，k2个λ2，…,km个λm，恰是 A的n个特征值.证毕.
根据定理6-17，我们可以得到把实对称矩 阵对角化化
对称矩阵的对角化
【例6-14】
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
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对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
从上一节我们看到，一般的方阵不一定 可对角化，但对于在应用中常遇到的实对称 矩阵（满足AT=A的实矩阵），不仅一定可 以对角化，而且解决起来也要简便得多，这 是由于实对称矩阵的特征值与特征向量具有 一些可注意的特性.
对称矩阵的对角化
定理6-14
实对称矩阵的特征值必为实数. 证明 （略） 由于实对称矩阵的特征值是实数，从 而对应的特征向量也是实特征向量.
对称矩阵的对角化
定理6-16
设λ为n阶实对称矩阵A的k重特征 值，则对应特征值λ恰有k个线性无关的 特征向量.
证明 （略）
对称矩阵的对角化
定理6-17
设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使 Q－1AQ=QTAQ=Λ
其中，Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵. 证明 设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λm，它们的 重数依次为k1,k2,…,km，于是k1+k2+…+km=n.根据定理616知，对应特征值λi恰有ki个线性无关的特征向量，把它们 单位正交化，即得ki个单位正交的特征向量，i=1,2,…,m.由 k1+k2+…+km=n知这样的特征向量恰有n个.
对称矩阵的对角化
定理6-15
设λ1,λ2是实对称矩阵的两个特征值，p1,p2是对应的特征向量.若 λ1≠λ2，则p1与p2正交.
证明 因Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2. 对Ap1=λ1p1两边转置，由AT=A，可得pT1A=λ1pT1，再同时右乘上 p2，得 pT1Ap2=λ1pT1p2 对Ap2=λ2p2，同时左乘pT1，得 pT1Ap2=λ2pT1p2 两式相减，得(λ1－λ2)pT1p2=0 但λ1≠λ2，故pT1p2=0，即p1与p2正交. 这就是说，实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量两两正交.