nn n
nn
n
示的是频率，不同于概率，即使变量之间独立,式子两
边也不一定恰好相等，但是当两边相差很大时，变量
之间就不独立.
【练一练】 考察棉花种子经过处理跟棉花生病之间的关系，
得到数据如下：
种子处理情况 得病情况
则判断种子处理与得病之间的独立性.
解：由题意可知a=32，b=101，c=61，d=213，从而
我们假设吸烟与患肺癌是独立的，即吸烟不影响患 肺癌.根据直观的经验，我们把吸烟人群中患肺癌的 人所占百分比，与不吸烟人群中患肺癌的人所占百 分比作比较.如果吸烟不影响患肺癌，就意味着，无 论吸烟与否，患肺癌的人所占的百分比应该是基本 一样的，就此题而言：
通过表格中的数据计算可得 吸烟人群中患肺癌的人所占百分比是： 56 2.82%
2
n(ad bc)2
(a b)(c d)(a c)(b d)
500 (197 120 135 48)2 245 255 332168
42.252 4 6.635.
所以有99%以上的把握认为高中生是否喜欢参加体 育锻炼与性别之间是有关的.
探究点3 独立性检验的应用
56
1932
不吸烟A2
23
4567
总计
79
6499
总计 1988 4590 6578
2
n(ad bc)2
(a b)(c d)(a c)(b d)
6578 (56 4567 1932 23)2 62.698 6.635. 1988 4590 79 6499
总计
男青年
46
30
76
女青年
20
50
70
总计
66
80
146
2 146 (4650 30 20)2 15.021 6.635.
76 70 6680
所以有99%以上的把握认为是否喜爱古典音乐与青 年的性别有关.
例2.容易生气的人更有可能患心脏病吗？某机构随机 调查了2 796人，下表给出了调查的结果（单位：人）：
c
，b
n

a
n
b

b
n
d
，c n

c
n
d

a
n
c
，d n

c
d n

b
n
d
当上面的值较大时，变量A,B不独立.
思考 ：当这些量多大时才能说明变量间不独立呢？ 我们能不能选择一个量，用它的大小来检验变量之 间是否独立呢？
统计学家选取以下统计量，用它的大小来检验变
量之间是否独立：
所以有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌是有关的.
思考：在进行χ 2运算，判断变量相关时， 若χ 2=56.632，P（χ 2>6.635)≈0.01和 P（χ 2>3.841)≈0.05，哪种说法是正确的？ 提示：两种说法均正确. P（χ2>6.635)≈0.01的含 义是有99%以上的把握认为两变量相关；而 P（χ2>3.841)≈0.05的含义是有95%以上的把握认为 两变量相关.
因为0.653<2.706,所以没有充分的证据认为成
绩是否优秀与所在的班级有关.
1.下面是一个2×2列联表：
x
y
y1
y2
x1
a
21
x2
2
25
总计
b
46
总计 73 27
n
则表中a，b的值分别为( C )
A．94，96
B．52，50
C．52，54
D．54，52
2.分类变量X和Y的列联表如下，则( C )
探究点1 独立性检验
2×2 列联表
为了调查吸烟与患肺癌是否有联系，某机构随机调
查了6 578人，得到表中的数据（单位：人）
患肺癌情况 吸烟情况
吸烟
不吸烟
患肺癌 56 23
不患肺癌 1 932 4 567
这一问题称为2×2列联表的独立性检验.
思考：如何根据表格中的数据来判断吸烟与患肺
癌是否有联系？
另一方面，如果吸烟与患肺癌是独立的，那么有
P( A1B1 ) P( A1 )P(B1 ) P( A1B2 ) P( A1 )P(B2 )
P( A2 B1 ) P( A2 )P(B1 ) P( A2 B2 ) P( A2 )P(B2 )
都成立，由上表数据可得：
患肺癌情况 吸烟情况
既吸烟又患肺癌的人频率为： 56 0.85% 6578
解：根据表中的数据计算得下表（单位：人）：
头发颜色
眼睛虹膜颜色
红∕金黄色
黑色
总计
蓝色
156 20 176
棕色
12 24 36
总计
168 44 n=212
2 212 (156 24 12 20)2 55.576.
168 4417636 因为55.576>6.635,所以有99%以上的把握认为 头发的颜色与眼睛虹膜的颜色有关.
392 (39167 157 29)2 1.78. 196196 68324
5.下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病情况 饮用水卫生程度
试问：这种传染病与饮用水的卫生程度有关吗？
解：根据表中的数据计算得下表
得病情况
饮用水卫生程度
2 830 (52 218 466 94)2 54.21 6.635. 146 684 518 312
当χ 2较大
[(a a b a c)2 (b a b b d )2
2 n
nn n abac

nn n abbd

时，说明 变量之间
nn
nn
不独立.
] ( c c d a c )2 (d c d b d )2
n n n n n n
cd ac
cd bd
nn
nn
2
n(ad bc)2
. (n a b c d)
(a b)(c d )(a c)(b d )
当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独 立性进行判断.
1.如果 2≤2.706,没有充分的证据判定变量A,B有关联，
变量A： A1，A 2= A1； 变量B： B1 ，B2= B1.
B
B1
A
A1
a
A2
c
总计
a+c
B2
b d _b_+_d_
总计
_a_+_b_ c+d n=_a_+_b_+_c_+_d_
a
ab
设 n a b c d ，用 ac
n
估计 P( A1B1 ) ，
n
估计 P( A1 ) ， n 估计P(B1 ).
2.2 独立性检验 2.3 独立性检验的基本思想
2.4 独立性检验的应用
1
人们都认可“吸烟具有危害性”，那么，人们认 可这个观点，有什么根据么？吸烟是否对患肺癌有影 响呢？下面我们用数学知识来分析一下，这个观点是 否具有科学根据……
1.掌握利用2×2列联表进行独立性检验，会用2×2 列联表解决实际问题.（重点） 2.了解独立性检验的基本思想及实施步骤.（重点） 3. 掌握独立性检验的简单应用．（难点）
1 988
不吸烟人群中患肺癌的人所占百分比是： 23 0.50%
4 590
结论：吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比，与不吸 烟人群中患肺癌的人所占百分比不等，且相差较大. 由此我们可以推断，开始的假设是不成立的.也就是 说，患肺癌与吸烟是有关系的.由吸烟人群中患肺癌 的人所占的百分比较多，我们认为吸烟会对肺癌的发 病率造成一定的影响.
【总结】
要推断“Ⅰ和Ⅱ是否有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）根据2×2列联表得出合计总表；
（2）用公式计算 2的值；
（3）查对临界值，作出判断. 由于抽样的随机性，由样本得到的推断有可能正
确，也有可能错误.利用 2 进行独立性检验，可以
对推断的正确性作出估计，样本量n越大，估计越准确.
【变式练习】
若有式子
a n

a
n
b

a
n
c
，则可认为
A1与
B1 独立.
同理，若 b a b b d , 则可认为A1与B2独立；若
nn n
c cd ac, nn n
则可认为A2与B1独立；若
d n

cd n
bd n
,
则可认为A2与B2独立.
在 a a b a c 中，由于 a ，a b ，a c 表
为了讨论的方便，我们引入以下记号：
变量A：A1=吸烟，A2 A1 不吸烟;
变量B：B1=患肺癌，B2 B1 未患肺癌.
计算得如下表格：
患肺癌情况 吸烟情况
吸烟A1
不吸烟A2
总计
患肺癌B1 56 23 79
未患肺癌B2 1 932 4 567 6 499
总计 1 988 4 590 6 578
那么有__9_5_%__的把握认为两个变量有关联
解：因为 2 =4.013>3.841.所以有95%的把握判定
两个变量有关联.
4.根据下表计算 ≈2 _1_._7_8_.
手术情况
发病情况
解:由 2的计算公式，得
2
n(ad bc)2
(a b)(c d)(a c)(b d)
X
Y
Y1
Y1