切线的证明方法中考总结 Jenny was compiled in January 2021
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1
F
D
O
B
C
切线的证
法
1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线
2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线
3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一.角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）
例：.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若
AB AC =53,求DF
AF
的值。

练习2.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 的延长线于点E ，交AC 的延长线于点F 。

（1）求证：EF 为⊙O 的切线；
（2）若sin ∠ABC=5
4,CF=1,求⊙O 的半径及EF 的长。

3. 如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，
FB 是⊙O 的切线交AD 的延长线于点F .
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)若DE =3，⊙O 的半径为5，求BF 的长.
4.已知如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B 、M
两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径.
（1） 求证：AE 与⊙O 相切；
（2） 当BC=4，cosC=31
时，求⊙O 的半径。

二.平行证相切（1.已知平行、2.角相等平行、3.中位线平行）
例5.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ⊥
5
4
图，在等腰⊿ABC 中，AB=AC,O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 长为半径的圆交BC 于D,DE ⊥AC 交AC 于E.
(1)求证DE 时是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 与AC 相切于F ，AB=AC=5cm ，sinA=5
3
,求⊙O 的半径长。

7.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC=BD,连结AC,过点D 作DE ⊥AC,垂足为E. (1).求证：AB=AC
(2).求证:DE 为⊙O 的切线.
(3).若⊙O 的半径为5，∠BAC=60°，求DE 的长.
8.如图 ，矩形ABCD 中，53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ，过点F 作FG BE ⊥于点G ． （1）当E 是CD 的中点时：
①tan EAB ∠的值为______________；
② 证明：FG 是O ⊙的切线；
（2）试探究：BE 能否与O ⊙相切若能，求出此时DE 的长；若不能，请说明理由．
9．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的
延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结OG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF•与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF=EF ；
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
（3）若FG=BF ，且⊙O 的半径长为32， 求BD 和FG 的长度．
三.角度转化证切线（中线证直角、角度转化证直角）
例10．已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B•点，OC=BC ，AC=12
OB ．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦AD 、CD 的长．
11..如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO.
D
E
O C
B
G F A
(1).求证BD 是⊙O 的切线。

(2).若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且⊿BEF 的面积为8，cos ∠BFA=3
2，求⊿ACF 的面积。

12.如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN ，若∠MAC=∠ABC. (1).求证：MN 是半圆的切线
(2).设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F.求证：FD=FG
(3).若△DFG 的面积为，且DG=5,GC=4.试求△BCG 的面积
13. 如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦DE ⊥AB 分别交⊙O 于E ，交AB 于H ，交AC 于F ．P 是ED 延长线上一点且PC=PF ． (1) 求证：PC 是⊙O 的切线；
(2) 点D 在劣弧AC 什么位置时，才能使2AD DE DF =⋅，为什么 (3) 在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC 的长．
14.如图，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC . （1）求证：AC 2
＝AE ·AB ；
（2）延长EC 到点P ，连结PB ，若PB ＝PE ，
试判断PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
15.如图所示，AB 是半圆O 的直径，C 是半径OA 上的一点，PC ⊥AB,点D 是半圆上位于PC 右侧的一点，连接AD 交线段PC 于点E,且PD=PE.
(1)求证：PD 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为4，PC=8，设OC=x,PD 2=y. ① 求y 关于x 的函数关系式 ② 当x=1时，求tan ∠BAD 的值.
16.如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，
AC PC =，2COB PCB ∠=∠．
（1）求证：PC 是O ⊙的切线； （2）求证：12
BC AB =；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若4AB =，求MN ×MC 的值．
O N B P
C
A
M
17.如图，扇形 OAB 的半径OA=r ，圆心角∠AOB=90°，点C 是弧AB 上异于A 、B 的动
点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE,点M 在DE 上，DM=2EM,过点C 的直线PC 交OA 的延长线于点P ，且∠CPO=∠CDE. (1)求证：DM=3
2r ；
(2)求证：直线PC 是扇形OAB 所在圆的切线；
(3)设y=CD 2+3CM 2,当∠CPO=60°时，请求出y 关于r 的函数关系式。