样本及抽样分布一、填空题1 •设来自总体X的一个样本观察值为：2.1, 5.4, 3.2, 9.8, 3.5,则样本均值=4.8 ,样本方差=2.7161 2；2. 在总体X ~ N (5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X落在4 与6之间的概率=0.9332 ;3. 设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,二2)仲位:小时)，抽取一容量为9 的样本，得到殳=940,s =100 ,则P(X ：：： 940) = ___________ ;74. 设X1,X2,∙., X7 为总体X ~ N(0,0.52)的一个样本，则Pr X i24^ 0.025 :i=15. 设X1,X2,...,X6为总体X ~ N(0,1)的一个样本，且CY服从2分布，这里，Y =(X1 X2 X3)2(X4 X5 X6)2,则C=血_ ；6•设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与Y,Y2,...,Y分别是来自总体X ,Y的简单随机样本，则统计量U= X1... X9服从参数为—9H2+...+Y2的_L_分布。

7. 设X11X21X31X4是取自X ~ N(0,22)正态总体的简单随机样本且^a(X^2X2)2b(3X^4X4)2,,则a = 0.05 , 0.01 时，统计量Y 服从2分布，其自由度为一2_;19. 设随机变量X ~t(n)(n 1),Y 2,则Y~ —;X110. 设随机变量X~F(n,n)且P(X∣>A) = 0.3 , A 为常数，则P(XA—)= 0.7A8. 设总体X服从正态分布X ~ N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自总体的简单随机X 2十+X2样本，则随机变量YX12...利服从F 分布，参数为10,5 ; 2(X11 +...+X15)设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体X 〜NC ∖-2)的(X i -X )2,则γ =n -I(XT 服从的分布是( n i ⅛记S 2 诂［(XT )2,4匕人 -X)2,『亠(Xir2 - 1 n11若1,…,；是取自正态总体 N(・i,；「2)的一个样本，则 i 服从_______________ n 挡12样本(X i , ,X n )的函数f (X i , ,X n )称为,其中f (X 1 ,…,X n )不含未知参数。

13设总体X 服从N( ~匚2) , X 和S 2分别为来自总体 X 的样本容量为n 的样本均值和方nX(Xi -X )2 差，则i-2(n - 1)S2σ14设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布 N (0,32),而X 1,, X 9和YV ,Y 9分别是来自总体XY … + 乂和Y 简单随机样本，则统计量 U=XIX9服从曲十二+Y 92分布。

t (9)15设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布N (0,32),而X 1,, X 9和YV ,Y 9分别是来自总体 X 和Y 的简单随机样本，则统计量V = X2XL服从 ¥ + …+丫9分布。

F(9,9)二、选择题1.设总体X 服从正态分布N(∙i,二2),其中二为未知参数，(X 1, X 2, X 3)是取自总体X 的 一个容量为3的样本，下列不是统计量的是1A. X 1 X 2 X 3B. max{X 1,X 2,X 3}C. (X 1 X 2σ2. 设X 1,X 2,…,X 16是来自正态总体 N(2,；「2)的一个样本,1X 3) D. (X 14 1 16 X X i ,16 yX 2 X 3)).A. t(15)B. t(16)C.22(15)D. N(0,1)1 n个样本，XX i ,n i=⅛S lA.t(n _1) B. t(n)C.2(n-1)D.4.设X 1,X 2,...,X n 是来自总体N(J ∙F 2)的简单随机样本，X 是样本均值,I nS-1V(X i ))2,则服从自由度n —1的t 分布的随机变量是T= ( A );n i 4A . —X 二B . —X 二C^X ^=S I ln -1S 2 . n -1Q 、n-15.设F n (X)是经验分布函数，基于来自总体 X 的样本，而 分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的 x,F n (x)nX i 2 C. ' Q)2i 1 J8. 设X 1,X 2,…，X n 和g,∙∙∙,Y 分别来自两个正态总体 N(-1,22)和N(2,5)的 样本，且相互独立，S 2,S 2分别为两个样本的样本方差，则服从 F(7,9)的统计量X - 1 S 4n-1F (x)是X 总体的A .是分布函数B .依概率收敛于 F(X)C .是一个统计量D .其数学期望是 F(X)6. 设总体X 服从0— 1分布，X 1,X 2,∙∙∙,X 5是来自总体X 的样本, X 是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是(A . min {X 1,X 2,X 3,X 4,X 5}B . X 1-(1-p)XC . max{X 1,X 2,X 3,X 4,X 5}D . X5-5X7. 设X 1,X 2,...,X n 是正态总体Nef 2)的一个样本，其中」已知而 匚2未知,则下列各选项中的量不是统计量的是( C )。

nA.X(Xi 72i吕I nI-2B. _ (X i _X) n i AD . min{ X i }C ."鶴29. 设X 1,X 2,...,X n 是正态总体N(Y 2)的一个样本,X 和S 2分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有( A .B .D .2 2I n C. X 与一Σ'∙ (X i -X)相互独立D .G i 41 n —10.设 X 1,X 2,∙∙∙,X n是正态总体 Nef 2)的一个样本，S 2(X i-X)2,n -1 \丄则D(S 2)等于( )4 σ4 σ2二4A. ——B .C .D .nnn —1n-111.设 X 1,X 2,. ..,X n 是正态总体NC l, ^ 2)的一个样本， X 和S 2分别为样本均值和样本方差，则服从自由度为n 一1的t —分布的随机变量是( C )12.设X 1,X 2,…,X n 是正态总体NL M 2)的一个样本，X 和S 2分别为样本均值和样本方差，则(C )2 2X(n-1)X A . ^τ~F(1, n -1)B . g~F(1, n-1)2 2C . nXr~F(1,π-1)D . (O Q l 2)X~F(1, n —1)SS13•设随机变量 X ，Y 都服从标准正态分布，则()。

14.设总体X 服从N(1,9)，X 1,…X 9为X 的样本，则有()。

15.设X 1,…X n 是来自正态总体 N(0,1)的简单随机样本，X 和S 分别为样本的均值和标准差，则有(I n OX 与r V (X i -J)相互独立G \_1nχc . nXnX S 1 (A) X + Y 服从正态分布。

(B) X 2 + Y 2服从 2分布。

(C)X 2和Y 2都服从2分布。

2 2(D) X / Y 服从F 分布。

X T(A)〜N(0,1)1X —1Kl Z n 八(C ).〜N(0,1)9X —1 (B)〜N (0,1)3(D )X ^1N(0,1)A .(A )n X 〜N(OI) ( B )X 〜N (0,1) ( C) X〜t (n-1) (D )、X：〜2(n)S 72 2X 〜Ne1,6 ) , Y 〜N(∙l∙2,6 ) , X lL X n1为X 的样本, Y l / Y n2为Y的样本，则有( )。

2 2 2 21 C2 1 C 2(A )X - Y 〜N GV112, 1-) (B )X - Y 〜NO I 2, 1-)n1n2n1n22 2I；一 2 (C ) X —Y 〜Ne I-灯一1 2) ( D ) X —Y 〜n1n2N(—.S V)∖m n2三、解答题1. 设X1,X2,X3是总体NLf2)的一个样本，其中已知而二0未知，则以下的函数中哪些为统计量？为什么？(1)×1 ×2 X3 ；是(2)×3 31 ;是(3)×1 ;是(4)∙l∙Xf ;是∑ X i /(5)7 2 ；不是/ σ(6)max{X j}；是(7)二X3;不是2. 在总体N(52,6∙32)中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值X落在50.8与53.8之间的概率。

16.设X , Y相互独立,解: X ~ N (52,垃) 36_X _ 52Pf50.8 ：：：X ：：：53& = Pf —1.142 1.714 /6.3/ 6= G(1.714) — ：：」( 一1.142) =0.82933.对下列两种情形中的样本观测值，分别求出样本均值的观测值 X 与样本方差的观测值S 2 ,由此你能得到什么结论？ — 2 2(1) 5，2，3，5，8： x =4.6 S -2.059 (2) 105，102， 103，105，108 X =104.6S^ 2.05924. 设X 1,X 2,∙∙∙,X n 是取自总体X 的一个样本.在下列三种情形下，分别写出样 本X 1 , X 2,∙∙∙, X n 的概率函数或密度函数： (1)X ~ B(1,p);⑵ X ~ Exp(-);(3) X ~ U (0, 0。

解:1I 1 >0⑶ f(χ)= J0,心0(1)P(X =Xi)=P x(1-p)J,i =0,1 V-Xin7x P(X I=X I X2= X 2,, X n=X n扌二 P X fp 1")=p±-p1 i1 ) ii =1^'x ,x 0f(XH0,^0IniTf(X 1,X 2, ,x n )=二 f (X )=im! C0,he*n- -Xini ±,X i 0(i =1,2,,n)Ox ≤0(i=1,2,…，n)f (X1,X2,…，X n)= 口f (X i) = W n ' 0牛兰e(i =1,2…,n)Qo.w5.设X1,X2,…,X n是取自总体X的一个样本•在下列三种情形下，分别求出E(X),D(X),E(S2).p( 1- p ) 2(1) X ~ B(1,p) ；E(X )= p D X =) E,S2(詡n1 12 1(2) X~Exp() ；E(X) ,D(X) 2,E(S ) 2. n •-p(1 )⑶ X~U(0,R,r 0。

E(X) ,D(X) ,E(S2) ≡2 12n 126.设X1,X2,...,X n是独立同分布的随机变量，且都服从N(Of 2),试证:(1)InF X i2 ~ 2(n)；σi =I(2)nn3∕)2~ 2(I)解:(1) X l,X2,...,X n是独立同分布的随机变量，且都服从N(Of2)(2)X XL ~ N (0,1), L(i =1,2 n)独立，σσn n Y4 X i2八(')2~ Cn)nnV X i、X i ~ N(0, nJ, 7 ~ N(0,1)Z nIn丸X i)2-n '2Σ X iσT∏2(1)7•设X1,X2是取自总体X的一个样本. 试证：X L X与X2-X相关系数等于-1.解：(I)当 i 时,k .X 3^XΓX 52(S);；- X 1 +X 2 1 r 1 2cov(X 1, X) =COV(X 1, 1 2)- CoV(X 1,X 1) CoV(X 1, X 2)] (匚 0)2 2 2 1 2 -σ 2 2 D ( X 1-X )=C(X I ) D(X )-2cov( X 1, X)=匚二21 2 匚 2 _ 1 _ 1 同理 cov(X 2,X) 2,D (X 2-X )=— 2CoV(X 1 -X,X 2 -X)2 2 σ σ —+ —= 2 2 22 σ -0 -2 2 σ 2= CoV(X 1,X 2) -CoV(X 1,X) γ0v(X,X 2) cov(X,X) 2 σ ■ X 1 /,X 2 瓦 _ COV(X I -X,X 2-X) -P(X 1 -X)、，D(X 2 -X)2 2σ三-I2σ8.设X 1,X 2,...,X n 是取自正态总体Nef 2)的一个样本，试求统计量 nΣ CX i 的 i z 4分布，其中c i (i =1,2,..., n)是不全为零的已知常数。