第二章 波函数和薛定谔方程2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为()**2J iψψψψμ=∇-∇ 而定态波函数的一般形式为()(),iEtt eψψ-=r r将上式代入前式中得:()()()()**2J r r r r i ψψψψμ⎡⎤=∇-∇⎣⎦ 显然是这个J 与时间无关.2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度;(1) ,e r ikr 11=ψ (2) ikr e r-=12ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波.解: 在球坐标中,梯度算符为1ψ和2ψ只是r 的函数,与ϕθ,无关,所以,()**11211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-∂⎛⎫⎛⎫∇==-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-∂⎛⎫⎛⎫∇==-+=-+=∇ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭()()**221111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ∂⎛⎫⎛⎫∇==-=-=∇ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭e e e将以上四式代入 ()()()()**2J r r r r i ψψψψμ⎡⎤=∇-∇⎣⎦ (1) 对于ikre r11=ψ12222111122r r r i k p ik r r r r μμμμ⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦p J e e e (2) 对于ikre r-=12ψ212222111122r r r i k p ik r r r r μμμμ⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikre r11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e rr μ=.而球面 波ikre r-=12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场()⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=ax a x x x U 00中运动,求粒子的能级和对应的波函数.解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψE dx d 即 02=+''ψψk ()20k E =>可知,其解为ikx ikx Be Ae -+=ψ在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ，在a x ≤≤0处， 波函数为 ikxikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -=因此有 ()2sin sin ikx ikx A e e iA kx C kx ψ-=-== 从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π所以 sin1,2,3n n C x n aπψ==22222an E n μπ = 归一化条件1*=⎰dx ψψ可得aC 2=()()222211sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦ 所以 1,2,30n nx n x a aπψ==≤≤ 综合得: 000n n x x a ax x aπψ≤≤=<>⎩或2.4. 证明()sin20n n A x a x a ax aπψ⎧'+<⎪=⎨⎪≥⎩式中的归一化常数是a A 1='解: 这是宽度为a 2,将坐标原点选在势阱中心而表示的一维无限深势阱的波函数,利用归一化条件得()222220222201sin sin 2222sin 2a aa n n n A x a dx A ydya a a a n A zdz A A a n n ππππππ+-''=+='''==⋅⋅=⎰⎰⎰所以 aeA i 1δ=' 取 0=δ 得2.5. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置. 解: 一维谐振子第一激发态的波函数为 ()()x xex *x 1212112222ψαπαψα=⋅=- 其中几率密度()()22223323222210x x dw x x e x x e dx ααααππ--=-=-= 极值点有 00,,x x =±±∞ 使:()2223224421520x d w x x e dx αααπ-=-+< 只有μω±=±=0x x两个值,所以和μω-=x 处第一激发态粒子出现的几率最大.2.6. 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:()()x U x U =-,证明粒子定态的波函数具有确定的宇称.解: 定态的波函数满足的薛定谔方程为()()()x E x x H ˆψψ=哈密顿算符 ()()x U dxd x H ˆ+-=222μ 于是当x x -→时,而拉普拉斯算符 ()222222222222dxd x d d dx d μμμ -=--→- 题2.5图 图中取1μω=即在坐标反射下,哈密顿算符不变,即()()x H ˆx Hˆ=- 写出坐标反射后的薛定谔方程()()()x E x x H ˆ-=--ψψ考虑到()()x H ˆx Hˆ=-有 ()()()x E x x H ˆ-=-ψψ 比较 ()()()()()()ˆˆH x x E x H x x E x ψψψψ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩ 如果属于能量E 的本征值是非简併的,反射变换前后,状态函数有如下关系()()x x λψψ=-,()()()x x x ψλλψψ2=-=,1±=λ.即()()x x ψψ±=-可见,粒子的定态波函数具有确定的宇称,奇宇称或偶宇称. 当()()x x ψψ-=时,称该波函数为偶宇称. 当时,称该波函数为奇宇称.但是如果属于能量E 的本征值是简併的,特别是()()x x ψλψ-≠这时可以构造两个与之相关的波函数()()()()()(),.f x x xg x x x ψψψψ-=+--=--据此,可知()(),f x f x -=因而具有偶宇称;()().g x g x -=-因而具有奇宇称.以上结果本质上是根据哈密顿的对称性去推知它的本征函数的对称性.一般地,如果属于某一能量的本征态是非简併的, 那么, 能量本征态会携带哈密顿算符的对称性.但是, 如果属于某一能量的本征态是简併的,那么并不是其中的每一个本征态都会携带哈密顿算符的对称性.但总可以通过它们的某种组合使之携带哈密顿算符的对称性.2.7. 一粒子在一维势阱()⎩⎨⎧<>>=ax ax U x U 000 中运动,求束缚态()00U E <<的能级所满足的方程.解: 粒子所满足的方程()()222222d x E x a x a dx ψψμ-=-<<()()()a x x E x U x dxd >=+-33032222ψψψμ令 22 Eμα= ()202 E U -=μβ方程变为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>=-''<<-=+''-<=-''ax x x a x a x x ax x x 000323222121ψβψψαψψβψ它们的解分别是:()112212312sin cos sin x xx xA e A e x aB x B x B x a x aC e C e x aββββψψαααδψ--=+<-=+=+-<<=+> 由波函数的有限性条件限制,必须要求120A C ==()12231sin xxA e x aB x a x aC e x aββψψαδψ-=<-=+-<<=> (1)根据波函数在边界上连续及导数连续的条件, 确定常数.(1) 波函数ψ连续1232x a x ax a x a x a x a ψψψψ=-=-==⎧=-=⎪⎨==⎪⎩得 ()()21sin sin aaA eB aC eB a ββαδαδ--⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ (2) (2) 波函数导数ψ'连续[][][][]⎩⎨⎧'='='='-===-=-=a x a x a x a x a x a x 22332211ψψψψψψψψ 得 ()()ctg ctg a a βααδβααδ=-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ (3) 由此明显看出:由(2)可以用消去两个待定系数2A 和1C ;由(3)可以确定δ和能量E .由(3)得 ()()()ctg ctg ctg a a a αδαδαδ+=--+=-所以 ()();0,1,2a k a k αδπαδ+=+-=±±,由此得πδk 21=,由于余切以π为周期, 故只有两个独立解:20πδ,=,把0=δ和2π分别代入(3)式得到确定能量的方程为：0ctg 2tg a a δααβδπααβ==-==将上面的式子同乘以势垒宽度a0ctg 2tg a a aa a aδααβδπααβ==-==再考虑到:()20202222()U E U a a a a μμβα-==-令 22022U a n μ=z a α=22ctg z z n z =--令 221()ctg f z z z n z =+- 同理由第二组解得: 222()tg f z z z n z =--当1,2,3,4n =, 由1()f z 和2()f z 做出图2.7-1, 图2.7-2, 图2.7-3, 图2.7-4.由图2.7-1可以看出:当1n =时()01z <<只有一虚线通过横轴,也就说只存在一个解.对应的是第二组的解.由数值计算可知,此时0.7391z =,由此可算出对应的能级. 由图2.7-2可以看出:当2n =时()02z <<存在两个解.分别对应的是第一组和第二组的解.由数值计算可知,此时对应第一组的解为 1.8955z =,对应第二组的解为,由此可算出对应的能级. 由图2.7-3可以看出:当3n =时()03z <<存在两个解.分别对应的是第一组和第二组的解.由数值计算可知,此时对应第一组的解为 2.2789z =,对应第二组的解为 1.1701z =,由此可算出对应的能级. 由图2.7-4可以看出:当4n =(实际上只要 3.5n >即存在三个解)时()04z <<存在三个解.其中第一组一个解和第二组的两个解.由数值计算可知,此时对应第一组的解为,对应第二组的两个解为别为1.2524,3.5953z =,由此可算出对应的能级.第一组解0δ=由()()21sin sin aaA eB aC e B a ββαδαδ--⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩得:()()()123sin sin sin a x a xe B a e x a B x a x a e B a e x aββββψαψαψα-=-<-=-<<=>图2.7-1 图2.7-2图2.7-3 图2.7-4由归一化条件得1sin a xe a e a x ββαψ=-<2sin x a x a αψ=-<<3sin a xe a e x a ββαψ-=>对于第一组解的第一个能级,有:1.8955a α=,20.626019a aβ===取1a =得 1.8955α=,0.626019β=0.6260190.626019120.6260190.6260193sin 1.8955sin 1.8955sin 1.8955x xe e x ax a x a e e ψψψ-=<-=-<<=x a>由上述波函数可绘出图2.7-5第二组解2πδ=由21sin 2sin 2a a A e B a C e B a ββπαπα--⎧⎛⎫=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩得()()()123cos cos cos a x a xe B a e a x B x a x a e B a e x aββββψαψαψα-=-<=-<<=> 由归一化条件得()()()()()(){}()22211122222222222221cos sin cos cos sin cos cos sin 22aaaaaa a x a x aaaaaxax aadx dx dxe B a e dx B x dx e B a e dxBea edx x dx ea e dxa a B a ββββββββψψψααααααααβα∞-∞-∞--∞-∞--∞-=++=++=++⎧⎫⎪⎪=+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰123cos cos cos a xa xe a e a xx a x a e a e x aββββαψαψαψ-=-<=-<<=>对于第二组解的第一个能级,有:0.7391a α=20.673596a a β===令1a =得0.7391α=,0.673596β=0.6735960.673596120.6735960.6735963cos 0.7391cos 0.7391cos 0.7391x x e e x ax a x a e e ψψψ-=<-=-<<=x a>由上述波函数可绘出图2.7-6. 照此方法可绘出其它能级对应的波函数.2.8. 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<≤<∞=bx bx a U ax Ux x U 00010求束缚态的能级所满足的方程.解: 束缚态,即要求01<<-E U .分区域写出薛定谔方程:()()()()()()()()1220222231332244200222x d x U x E x x a dx d x U x E x a x bdxd x E x x bdx ψψψψμψψψμψψμ=<-+=≤≤--=≤≤-=>其中()0222U E k μ-= 则 ()()22220x k x ψψ''-= 其中()1322E U k μ+= 则 ()()23330x k x ψψ''+=其中 422Ek μ-= 则 ()()24440x k x ψψ''-=以上三方程的解分别为:()()()()22442334sin k x kxkxk xx Ae A e x B k x x Ce C e ψψδψ--'=+=+'=+在0x =处, ()200ψ=,得0A A '+=.令A A '=-;对于()4x ψ,当∞→x 应有限,故0C '=, 则波函数可写为图2.7-6图2.7-5()()()()()2242334sin k x kxkxx A e e x B k x x Ce ψψδψ--=-=+= 由波函数导数的连续性得[][]()()[][]()322333223334434tan th tan x a x a x b x b k x a k a k a k k x b k b k ψψψψδψψψψδ====⎧''==+=⎪⎪⎨⎪''==+=-⎪⎩即()113332324tan th ,tan k k k a k a k b k k δδ--⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭由上两式消去δ,得()()11333224tan th tan k k k a b k a k k --⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭用到公式111tan tan tan 1x yx y xy---±±= 上式成为 ()()()()()332342232433324332242th th tan th 1th k k k a k k k a k k k k k a b k k k k k k k a k a k k ++-==⎡⎤⎣⎦--。