c s s c Rot ( z , ) 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 1
c 0 Rot ( y, ) s 0
0 s 0 1 0 0 0 c 0 0 0 1
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2.1 Representation of Position and Attitude 位置和姿态的表示 • Description of Position
px A p p y pz
xA zA {A} p
cosθ
xA
绕z轴旋转θ
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2.2 Coordinate Transformation 坐标变换
• Rotation about an axis
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s 0 s c
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2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齐次坐标变换
A A B p B R p A p Bo
Homogeneous Transformation
A A p B R | A pBo B p 0 0 0 | 1 1 1
c 90 s 90 s 90 c 90 v Rot z ,90 u 0 0 0 0 0 0 1 0 0 7 3 3 7 0 0 2 2 1 1 1
相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴 A 的方位，分别由位置矢量(Position Vector) pBo 和旋转 A 矩阵(Rotation Matrix) B R 描述。这样，刚体的位姿 （位置和姿态）可由坐标系{B}来描述，即
{B}

A B
R
A
pBo

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• Rotation about an axis
A A A
x p x p cos
B
yB {B}
yA
{A} xB
y p B x p sin z p B xp 0 0
s c 0 0 0 1
sinθ oA θ
p
c R( z , ) s 0
1.2 仿人机器人结构
自由度 DOF（Degrees of Freedom）
Number of independent motions that are allowed to the body.
刚体的6个自由度
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1.2 仿人机器人结构
1 0 Trans (a, b, c) 0 0 0 0 a 1 0 b 0 1 c 0 0 1
对已知矢量 u=[x,y,z,w]T 进行平移变换所得的矢量 v 为：
1 0 v Trans (a, b, c) u 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a x x aw x / w a y y bw y / w b b c z z cw z / w c 1 w w 1
内收/外展 膝关节
踝关节 （简化为2自由度）
内45 外45 前90 后0
左45 右45 前50 后50
伸/屈
内收/外展 屈/ 伸
关节名称
髋关节 膝关节 踝关节
人体的关节形式
球形关节 两方向转动关节 球形关节
替代方式
分解为三个十字交叉的转动关节 用一个转动副代替 分解为三个十字交叉的转动关节
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肩
俯仰 滚动 俯仰 滚动
髋 膝
偏摆
俯仰 俯仰 滚动
-45 ~ 45
0 ~ 130 -75 ~ 45 -45 ~ 45
踝
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1.2 仿人机器人结构
（忽略径向平面和侧向平面的耦合作用，分别研究）
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2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齐次坐标变换
Homogeneous Transformation of Rotation
0 1 0 0 c s Rot ( x, ) 0 s c 0 0 0
2.2 Coordinate Transformation 坐标变换
• 复合变换 (Composite Transform)
A A B p B R p A p Bo
zC zB {B} zA
A
p oB
B
p
yB
yC
{A} oA yA
A
pBo xC xB
xA
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（各部分简化为质量均匀、现状规则的刚性连杆，关节间无摩擦）
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仿人机器人简化的连杆模型、自由度和坐标系
1.2 仿人机器人结构
部位名称 关节自由度 角度范围 / ⁰
-120 ~ 120 0 ~ 95 -100 ~ 45 -25 ~ 45
2.2 Coordinate Transformation 坐标变换
• 旋转坐标变换 (Rotation Transform)
zA zB
B
p
A
yB yA
p R p
A B B
o
xA
xB
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2.2 Coordinate Transformation 坐标变换
zA
zB {B} {A}
xB
A
oB p yB
A B
R R ;
A B T
1
A B
R 1
xA
oA
yA
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2.1 Representation of Position and Attitude
• Description of Frames
仿人机器人的连杆模型二维视图
2.仿人机器人的运动学分析(Kinematics)
运动学模型是指仿人机器人的各关节角 度和连杆位姿之间的关系，它是仿人机器人 步态规划和运动控制的基础。
正运动学是指根据仿人机器人的各关节角度求 各连杆的位姿，常用方法D-H方法。
逆运动学是指根据各连杆的位姿求解各连杆关 节的角度，即根据髋关节、膝关节和踝关节的位姿， 通过连杆间的几何位置等关系求第四章 仿人机器人的执行器 第五章 仿人机器人的控制与轨迹规划 第六章 简单仿人机器人制作
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《Principle and Design of Humanoid Robot》
第二章
仿人机器人的运动学与 动力学分析
2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齐次坐标变换
齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来 表示。一个向量的齐次表示是不唯一的，比如齐次坐标[8,4,2]、 [4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。
( x,y,ω)
2.2 Coordinate Transformation 坐标变换 • 平移坐标变换 (Translation Transform)
A
p B p A p Bo
zB {A}
A
{B}
zA
p oB
B
p yB
A
pBo xB
oA
yA
xA
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1.仿人机器人的结构
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1.1 人体结构分析（以下肢为例）
髋关节类似球副
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1.1 人体结构分析
膝关节受力是体重的1.5~8倍
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A
p
oA
yA
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2.1 Representation of Position and Attitude
• Description of Orientation
A B
R

A
xB
A
yB
A
zB

r11 r12 r13 r r r 21 22 23 r31 r32 r33
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第二章主要内容：
1 仿人机器人的结构 2 仿人机器人的运动学分析 2.1 位置和姿势的表示 2.2 坐标的变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 正运动学分析