根据所作的假设以及事物之间的联系，利用适当的数学工具去刻画各 变量之间的关系，建立相应的数学结构 —— 即建立数学模型。把问题化为 数学问题。要注意尽量采取简单的数学工具，因为简单的数学模型往往更 能反映事物的本质，而且也容易使更多的人掌握和使用。 4 ．模型求解。
利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，这时往往还要 做出进一步的简化或假设。在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出 数值解。 5 ．模型分析。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简
化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起
数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之
,
建立数学模型的这个过程就称为数学建模。
模型是客观实体有关属性的模
至于它是否真的能飞则无关紧要；
拟。陈列在橱窗中
然而参加航模比赛的飞机模
的飞机模型外形应
型则全然不同， 如果飞行性能
当像真正的飞机，
不佳， 外形再像飞机， 也不能
算是一个好的模型。模型不一定是 对实体的一种仿照，也可以是对实 体的某些基本属性的抽象，例如， 一张地质图并不需要用实物来模 拟，它可以用抽象的符号、文字和 数字来反映出该地区的地质结构。 数学模型也是一种模拟，是用数学 符号、数学式子、程序、图形等对 实际课题本质属性的抽象而又简洁 的刻画，它或能解释某些客观现象， 或能预测未来的发展规律，或能为 控制某一现象的发展提供某种意义 下的最优策略或较好策略。数学模 型一般并非现实问题的直接翻版， 它的建立常常既需要人们对现实问 题深入细微的观察和分析，又需要 人们灵活巧妙地利用各种数学知 识。这种应用知识从实际课题中抽 象、提炼出数学模型的过程就称为 数学建模。 实际问题中有许多因素， 在建立数学模型时你不可能、也没 有必要把它们毫无遗漏地全部加以
性，在简化和抽象过
一个数学问题， 这就Fra bibliotek是经济性。 用数学模
程 中必 然 造 成 某些
称为数学模型。
型 研究 不 需 要 过多
失真。所谓“模型就
数学模型具有
的专用设备和工具，
是模型” ( 而不是原
下列特征： 数学模型
可 以节 省 大 量 的设
型 )，即是该性质。
的 一个 重 要 特 征是
备运行和维护费用，
很大影响，现已成为国际性的大学
Mathematical Competition in
生的一项著名赛事。该竞赛每年 2
Modeling ，1988 年改全称为
月或 3 月进行。
Mathe-
我国自 1989 年首次参加
-matical Contest in Modeling,
这一竞赛，历届均取得优异成绩。
模型解决实际问题打开了广阔的道 路。而在现在，要真正解决一个实 际问题，离了计算机几乎是不行的。 数学模型建立起来了，也用数学方 法或数值方法求出了解答，是不是 就万事大吉了呢？不是。既然数学 模型只能近似地反映实际问题中的 关系和规律，到底反映得好不好， 还需要接受检验，如果数学模型建 立得不好，没有正确地描述所给的 实际问题，数学解答再正确也是没 有用的。因此，在得出数学解答之 后还要让所得的结论接受实际的检 验，看它是否合理，是否可行，等 等。如果不符合实际，还应设法找 出原因，修改原来的模型，重新求 解和检验，直到比较合理可行，才 能算是得到了一个解答，可以先付 诸实施。但是，十全十美的答案是
明 摆在 那 里 等 着你
高度的抽象性。 通过
用 数学 模 型 可 以大
去解决， 而是暗藏在
数 学模 型 能 够 将形
大 加快 研 究 工 作的
深处等着你去发现。
象 思维 转 化 为 抽象
进 度， 缩 短 研 究周
也就是说， 你要对复
思维， 从而可以突破
期，特别是在电子计
杂 的实 际 问 题 进行
其缩写均为 MCM ）。这并不是偶然 经过数年参加美国赛表明，中国大
的， 在 1985 年以前美国只有一种
学生在数学建模方面是有竞争力和
大学生数学竞赛
创新联想能力的。为使这一赛事更
（ The William Lowell Putnam
广泛地展开， 1990 年先与“中国
mathematical Competition,
将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统 测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法 , 在实际过程中用那一 种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。 3 ．仿真和其他方法 计算机仿真（模拟） -- 实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 离散系统仿真 -- 有一组状态变量。 连续系统仿真 -- 有解析表达式或系统结构图。 因子试验法 -- 在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改， 求得所需的模型结构。 人工现实法 -- 基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考 虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。
而需要用到数学。 而 且 不止 是 要 用 到数 学，很可能还要用到 别的学科、 领域的知 识，要用到工作经验
和常识。特 别是 在现 代社会，要 真正 解决 一个 实际 问 题几 乎 都 离 不开 计 算机 。 可 以 这样 说，在实际工作中遇 到的问题， 完全纯粹 的 只用 现 成 的 数学 知 识就 能 解 决 的问 题几乎是没有的。 你 所 能遇 到 的 都 是数 学 和其 他 东 西 混杂 在一起的问题， 不是 “干净的”数学，而 是“脏”的数学。其 中 的数 学 奥 妙 不是
对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的 依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可 能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分 析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。 6 ．模型检验。
分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际， 如果结果不够理想，应该修改、补充假设或重新建模，有些模型需要经过 几次反复 ,不断完善。
7 ．模型应用。 所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益，在应用中不断改进和
完善。应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的。
1. 美国大学生数学建模竞赛简介
1985 年在美国出现了一种叫
于每年 12 月的第一个星期六分两
做 MCM 的一年一度的大学生数学
试进行，每年一次。在国际上产生
模型竞赛（ 1987 年全称是
一步的工作。通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识。二 是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合。作假设时既要运用与 问题相关的物理、 化学、 生物、 经济等方面的知识， 又要充分发挥想象力、 洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要 因素，尽量将问题线性化、均匀化，经验在这里也常起重要作用。写出假 设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样。 3 ．模型构成。
没有的，已得到的解答仍有改进的 余地，可以根据实际情况，或者继 续研究和改进； 或者暂时告一段落， 待将来有新的情况和要求后再作改 进。
应用数学知识去研究和和解决 实际问题，遇到的第一项工作就是 建立恰当的数学模型。
从这一意义上讲，可以说数学 建模是一切科学研究的基础。没有 一个较好的数学模型就不可能得到 较好的研究结果，所以，建立一个 较好的数学模型乃是解决实际问题 的关键之一。数学建模将各种知识 综合应用于解决实际问题中，是培 养和提高同学们应用所学知识分析 问题、解决问题的能力的必备手段 之一。
实际系统的约束， 运
算 机得 到 广 泛 应用
分析， 发现其中的可
用 已有 的 数 学 研究
的今天， 这个优越性
以 用数 学 语 言 来描
成 果对 研 究 对 象进
就更为突出。但是，
述的关系或规律， 把
行深入的研究。 数学
数 学模 型 具 有 局限
这 个实 际 问 题 化成
模 型的 另 一 个 特征
数学建模的一般方法
建立数学模型的方法并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映 系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性
建模的一般方法： 1 ．机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内 部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 （ 1 ） 比例分析法 -- 建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 （ 2 ） 代数方法 -- 求解离散问题 （离散的数据、 符号、图形） 的主要方法。 （ 3 ） 逻辑方法 -- 是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域 的实际 问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 （ 4 ） 常微分方程 -- 解决两个变量之间的变化规律， 关键是建立 " 瞬时变化 率" 的表达式。 （ 5 ） 偏微分方程 -- 解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 2 ．测试分析方法 测试分析方法就是将研究对象视为一个 “黑箱 ”系统，内部机理无法直接寻 求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按 照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 回归分析法 -- 用于对函数 f（ x ）的一组观测值（ xi,fi ）i=1,2, … ,n ，确定 函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 时序分析法 -- 处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
数学建模的一般步骤
建模的步骤一般分为下列几步：
1 ．模型准备。 首先要了解问题的实际背景， 明确题目的要求， 搜集各种必要的信息。
2 ．模型假设。 在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，
找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的 假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。一般地说，一 个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求 解。不同的简化假设会得到不同的模型。假设作得不合理或过分简单，会 导致模型失败或部分失败， 于是应该修改和补充假设； 假设作得过分详细， 试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下