第10页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
7＋4 3 4
解析：解法 1
建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，
C(1,4)．又 kBC＝－43，故 BC：y＝－43(x－4)．又A→P＝mA→B＋nA→D，A→B＝(4,0)，A→D＝
第5页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
解法 2(极化恒等式)：设 PQ 的中点为 M. 则O→P·O→Q＝(O→M＋M→P)·(O→M－Q→M)＝(O→M＋M→P)·(O→M－M→P)＝O→M2－M→P2，根据图 形可得，当点 P 与 A(或 B)重合时，点 Q 与 P 重合，且|O→M|max＝1，|M→P|min＝0，则 (O→P·O→Q)max＝1；当点 P 位于弧 AB 的中点时，|OM|min＝ 22，|M→P|max＝1－ 22，则 (O→P·O→Q)min＝ 2－1，所以O→P·O→Q的取值范围为 2－1，1.
第9页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
(3) 如图，直角梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1， 动点 P 在边 BC 上，且满足A→P＝mA→B＋nA→D(m，n 均为正实数)，则m1 ＋1n的最小值 为________．
(0,4)，所以A→P＝(4m,4n)，故 P(4m,4n)．又点 P 在直线 BC 上，即 3n＋4m＝4，即
4
m1 ＋1n
＝
(3n
＋
4m)
m1 ＋1n
＝
7
＋
3n m
＋
4m n
≥7
＋
2
12 ＝ 7 ＋ 4
3，所以m1 ＋1nmin＝
7＋4 4
3，当且仅当33nn＋2＝44mm＝2，4，
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
[ 2－1,1] 解析：思路分析：首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方 法：坐标法和基底法进行求解． 解法 1 (坐标法)：以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，建立平面直角坐标系，则点 A(1,0)， B(0,1)，则直线 AB：x＋y－1＝0，由于点 P 在单位圆在第一象限的圆弧上，可设 P(cosθ ， sinθ) ， θ ∈ 0，π2 ， 设 点 P 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 Q(x1 ， y1) ， 则
x1＋2cosθ＋y1＋2sinθ－1＝0， xy11－－csoinsθθ×－1＝－1，
第4页
可得xy11＝ ＝11－ －scionsθθ，， 即 Q(1－sinθ，1－cosθ)．
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
所以O→P·O→Q＝cosθ(1－sinθ)＋sinθ(1－cosθ)＝sinθ＋cosθ－2sinθcosθ. 令 t＝sinθ＋cosθ＝ 2sinθ＋π4，则 t∈1， 2，且 2sinθcosθ＝t2－1. 故O→P·O→Q＝f(t)＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，所以O→P·O→Q的取值范围为 2－1，1.
即 x2＋2(x－1)a·b－1≥0 对于 x∈R 恒成立，Δ＝4(a·b)2＋8a·b＋4≤0，
即 4(a·b＋1)2≤0，所以 a·b＝－1，即 cosθ＝－21＝－ 22，所以 a，b 的夹角为34π.
第7页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
解法 2 如图，令O→A＝a，A→P＝xb(P 为直线 l 上任意一点)，则O→P＝a＋xb，所以|a ＋xb|＝OP 的最小值即点 O 到直线 l 的距离 OH，即 OH＝|a＋b|，即O→H＝a＋b， 所以 b＝A→H.在 Rt△OHA 中，AH＝1，OA＝ 2，cos∠HOA＝ 22，即∠HOA＝π4， 所以 a，b 的夹角为34π.
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
第1页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
专课 题时 综作 述业
与平面向量的最值有关的问题主要包括与参数有关的最值、与向量的模、与向量 的夹角、与向量的数量积有关的最值．常见转化的方法有① 坐标化；② 基底化； ③ 几何法，可以建立函数或用基本不等式，也可以找出动点的轨迹，利用几何意 义求解．
第8页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
【方法归类】 关于向量模的问题可以考虑三个方法：① 坐标化；② 基底化； ③ 几何法．本题代数解法就是一元二次不等式的解集为 R 的处理，而本题第(1) 问几何作法其本质就是求直线上任一点到直线外一点距离的最小值的问题，第(2) 问根据向量等式以及坐标法求出动点轨迹方程，再利用几何法或参数方程求解．
即 m＝12－36
3，n＝8
Hale Waihona Puke 33－12时取等号．第11页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
解法 2 因为A→P＝mA→B＋nA→D，所以A→P＝mA→B＋n(A→C＋C→D)＝mA→B＋nA→C－n4A→B＝ m－n4A→B＋nA→C.又 C，P，B 三点共线，故 m－n4＋n＝1，即 m＋34n＝1，以下同解 法 1.
第6页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
(2) 已知向量 a，b 满足|a|＝ 2，|b|＝1，且对于一切实数 x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立， 则 a 与 b 的夹角大小为________．
3π 4
解析：解法 1
将|a＋xb|≥|a＋b|平方可得 2＋2xa·b＋x2≥2＋2a·b＋1，
第2页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
典课 型时 例作 题业
例 1 (1) 如图，已知扇形 AOB 的圆心角为 90°，半径为 1，点 P 是圆弧 AB 上的 动点，作点 P 关于弦 AB 的对称点 Q，则O→P·O→Q的取值范围为________．
第3页
专题综述 典型例题 课后作业