理想代表体积元f m截面相等
实际的代表体积元f m截面不相等
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子区域划分法：
B子区域应用 逆混合法则
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再对ABA三个子区域应用混合法则：
式3.54称横向模量的“子区域法”
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弹性力学方法： 数值模拟（有限差分）方法： 数值模拟（有限元）方法：
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半经验公式： The Halpin–Tsai equation
composite, fiber, and matrix properties are known
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an E-glass/epoxy composite
we find that a1 = 2.0884, b1 = 0.1093, 通过能量方法验证说明该材料符合应变相等的假设！
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确定图示钢筋混凝土的E1 其中混凝土Em=17GPa, Ef=200 解：
逆混合： 子区域法 method of subregions
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For the Halpin–Tsai Equation 3.63 For the Tsai–Hahn Equation 3.66
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Summary: the inverse rule of mixtures prediction for the transverse modulus is considerably lower than experimentally determined values. However, the higher values given by the method of subregions, Spencer’s equation, the Halpin–Tsai equation, and the Tsai–Hahn equation are in good agreement with each other and with experimental values, and so these equations are recommended for design use!
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（预测单层板的工程常数） 1、纵向模量E1
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A representative volume element (RVE)代表体元及其应力表示
体积比等于截面的 面积比！
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纵向加载可分析截面平均应力。根据静力平衡有：
两边除以总截面面积，得所谓“混合法则” 只考虑“1”主方向，有一维胡克定律： 代入式（3.23）： 假设纤维基体牢固结合，即应变相等，可约去，得：
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小弹性应变能
U=1/2σε×V=1/2Eε2×V=1/2σ2/E×V
应变相等，约去
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若应变相等假设不相等会怎样？
可以设：
a1=
where a1 and b1 are constants.
b1=
由应变能密度： ν=U/V=1/2×σ2/E以Leabharlann 应变能关系：“应力混合法则”
3.31 and 3.32 can be solved simultaneously for a1 and b1 when
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确定孔隙含量： 单层板的体积组成：纤维、基体、孔隙； 单层板的质量组成：纤维、基体 单层板的密度： 孔隙体积比the void fraction
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纤维体积分数计算： 类似地，基体体积分数计算：
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例题3.2 A carbon/epoxy composite specimen has dimensions of 2.54 cm × 2.54 cm × 0.3 cm and a weight of 2.98 g. After “resin digestion” in an acid solution, the remaining carbon fibers weigh 1.863 g. From independent tests, the densities of the carbon fibers and epoxy matrix materials are found to be 1.9 and 1.2 g/cm3, respectively. Determine the volume fractions of fibers, epoxy matrix, and voids in the specimen.
其中ξ=2时，与体积0.55的圆形纤维复材吻合良好 the Tsai–Hahn equation
其中η表示基体与纤维的横向应力比，η=0.5式，与实验吻合良2好9
例题3.8 某复合材料vf=0.506; vm=0.482; vv=0.0122 Ef1 = 32.0 × 106 psi (220 GPa), Ef2 = 2.0 × 106 psi(13.79 GPa), and Em = 0.5× 106 psi; Compare Estimated E2
复合材料力学与结构
3-细观力学-单层板有效模量
曾盛渠 湖南工学院 高分子复合材料教研室 2020.5
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感谢以下参考教材
• [1]《复合材料力学基础》Principles of Composite Material Mechanics by Ronald F. Gibson, 张晓晶等翻译，2019（中译版以及 原版）
the volume fraction of the steel rods is only 5.5%, the steel contributes about 40% of the longitudinal composite modulus because of the high modulus of steel (200 GPa) relative to that of concrete (17 GPa).
• [2]Stress-Analysis-of-Fiber-Reinforced-Composite-Materials,1998（英 文原版）Hyer著，弗吉尼亚理工.
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细观力学： 根据纤维和基体的材料性能、相对体积含量、几何排列等， 预测 连续纤维增强板的有效模量
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关键要素之一： 相对体积和相对质量 预测模型的方程使用相对体积（如何测量？） 但是，相对质量更容易测量（想一想，如何测量？）
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如图横向加载，不能采用纵向加载时的 截面平均应力来分析， 只能用应变进行分析： 首先，2方向总伸长有：
各个伸长量：
代入上式有：
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The 1D Hooke’s laws for this case are
假设横向各部分的应力相等， 可得“逆混合法则”
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逆混合公式：
各部分应力相等的假设，不符合实际 实际纤维和基体的力与面积不相等
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本章完！
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Solution The composite density is
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From Equation 3.9, the void fraction is Then, from Equation 3.6
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实际的纤维不是完美的圆形！ 充填在基体的方式也是随机的，如图 实际的纤维体积分数：0.5-0.8