设 其中
i
ˆ A ϕi = αi ϕi ,
ˆ B φj = βj φj
∫ dp
对任意态的展开
p p =1
{ϕ }− A 表象基矢，
φi =
{φ }− B 表象基矢
j
将B表象的基矢用A表象的基矢展开：
α = ∫ dp p p α = ∫ dx ψ α ( p ) x
自身表象 ˆ ⎧ x xx ' = x x x ' = x δ ( x − x ' ) ⎨ ˆ p pp ' = p p p ' = p δ ( p − p ' ) ⎩ 可直接扩展到三维
... ...
)
两个态的内积记为： ψ ⋅ φ
ϕ1 = (1 0 0 ...) ϕ2 = (0 1 0 ...)
......
≡ ψ φ
注意
ψ φ = φ ψ
*
ϕ1
ϕ2
对归一化的态，有：
ψ ψ = (c1*
* c2
⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ ... ⎜ c 2 ⎟ = ⎜ ... ⎟ ⎝ ⎠
)
∑c
n
2 n
=1
ˆ sin A = ∑
ˆ cos A = ∑
ˆ ( − 1) n A 2 n +1 ( 2 n + 1)! ˆ ( − 1) n A 2 n ( 2 n )!
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ( A − λ B ) −1 = A −1 + λ A −1 B A −1 + λ 2 A −1 B A −1 B A −1 + ...
⎛ c'1 ⎞ ⎛ F11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ c'2 ⎟ = ⎜ F21 ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎝ ⎠ ⎝
c 'm = ∑ c n ϕ m F ϕ n
n
完备性条件
c 'm =
∑F
n
mn
cn
∫ dx
x x =1
对任意态的展开
F12 ...⎞⎛ c1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ F22 ...⎟⎜ c2 ⎟ ... ...⎟⎜ ... ⎟ ⎠⎝ ⎠
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间 §1.2 算符 §1.3 表象理论 §1.4 直和与直积空间
§1.1 矢量空间
一、矢量空间的定义 二、矢量空间的性质 三、基矢与Dirac符号
一、矢量空间的定义 一、矢量空间的定义
我们讨论的对象，如数列、线段等，可通称为数学 对象。同类的许多数学对象满足下述的一系列要求 时，就构成一个矢量空间；其中每一个对象称为空 间的一个元，或称为矢量。 1、加法：Χ=ψ +φ
投影算符 Pn = ϕ n ϕ n ，其作用是将态投影到其相应的本征态分量。
Pn ψ = c n ϕ n
试用Schmidt方法求出一组基矢。
而且
∑P
n
n
=I
一、算符的定义 一、算符的定义
§1.2
一、算符的定义
算 符
几种算符的定义：
ˆ ˆ ˆ 1）线性算符： A ( c1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2
2 2
综合以上两步定出 α , β 的值。
ϕ 4、再构造第三个态， n 3 = α ' ϕ n1 + β ' ϕ n 2 + γψ n 3 …依次类推
例题
2、Dirac符号
Dirac引入，优美的量子力学态表示方式。
这样，任一个态的展开可写成：
ψ ⎯ ψ ⎯→ ψ+⎯ ⎯→ ψ
右矢（ket） 左矢（bra）
基矢的正交归一： 展开系数的表示：
ϕ m ϕ n = δ mn
cn = ϕ n ψ
习题1.1
在四维列矩阵空间中，给定四个构成一完全集的矢量：
⎛ ⎝ ⎞ ⎠
可以发现：
ψ = ∑ cn ϕ n = ∑ ϕ n ψ ϕ n = ∑ ϕ n ϕ n ψ = ⎜ ∑ ϕ n ϕ n ⎟ ψ
n n n n
因此：
一、算符的矩阵表示 一、算符的矩阵表示
表象：一个力学量算符A，它的所有本征函数构成一个正交 归一的完全集，其张成的Hilbert空间称为“A表象空间” 。
假设算符F，对任意态的作用后 设在A表象中 则 用 记 即
Φ = ∑ c 'n ϕ n ,
n
二、连续谱表象 二、连续谱表象
1、连续谱表象的表示
ψ = ∫ dλ λ λ ψ
二、算符的代数运算 二、算符的代数运算
一般地，算符的函数可以表为 ˆ ˆ f ( A) = ∑ cn A n
n
几个算例
ˆ 1、计算对易子： [ x , f ( p x )] = ?
ˆ ˆ 2、设 λ 是一个小量，算符 A 之逆 A −1 存在，求证：
例如：
eA = ∑
ˆ
∞
n=0
ˆ An n!
∞ n=0 ∞
内积空间：
具有加法、数乘和内积三种运算并满足条件(1)-(12) 的集合称为内积空间。
Hilbert空间：
完备的内积空间称为Hilbert空间。
（7） (ψa,φ)=a*(ψ ,φ) （8） (ψ+φ,θ)=(ψ ,θ)+ (φ ,θ) （9） (ψ,O) = 0
例子：
例1：取数学对象为全体有理数和零，加法规定为算术加 法，数乘为算术乘法（也限于有理数），内积规定为两个 因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。 例2：三维位形空间的位置矢量，加法服从平行四边形法 则；数乘为实数乘，方向不变；内积是两个矢量的点乘 积。这是一个实数域上的内积空间。 例3：取一组有序的复数，排成单列矩阵。加法、数乘、内 积遵照矩阵运算。这是一个复数域上的内积空间。 例4：在某一区间内（a £ x £ b）定义的单实变量的好函数 f(x)，也可构成一个内积空间，称为函数空间。
0 = (ϕ n1 , ϕ n 2 ) = α (ϕ n1 , ϕ n1 ) + β (ϕ n1 ,ψ n 2 )
定出
(ϕ n1 ,ψ n 2 ) = −
α β
3、再由归一性的要求：
附：Schmidz正交归一方法及例子
对n个非正交态进行Schindz正交归一处理的基本步骤：
1、对第一个态进行归一，即
3、内积：(φ,ψ) = c
条件(9) ： (ψ,φ)= (φ,ψ)*
c是数
条件(10) ：结合律 (ψ,φ+θ)=(ψ ,φ)+ (ψ ,θ) 条件(11) ：(ψ,φa)=(ψ ,φ)a 条件(12) ：对任意态ψ，(ψ, ψ)≥0；若(ψ, ψ) = 0，则ψ= O
ψ+O=ψ
(φ= -ψ)
ψ+φ = O
2）幺正算符：
【定义一】一个线性算符是幺正的，假如：第一，是等距 的；第二，有一个严格意义下的逆算符。 【定义二】满足下述等式的算符为幺正算符
§1.3
表象理论
一、算符的矩阵表示 二、连续谱表象 三、表象变换 四、若干矩阵运算
A+ A = AA+ = 1
【定义三】“把任意的厄米算符仍变换到厄米算符的线性算 符为幺正算符。 思考题：投影算符有无逆算符?
α = ∫ dx x x α = ∫ dx ψ α ( x ) x
这里 ψ α ( x ) = x α 就是以前的波函数。
3、一维动量表象ˆ p p来自= p p三、表象变换 三、表象变换
从一个表象变换到另一表象，就象两个坐标系之间的转换。
p p' = δ ( p − p' )
正交归一性 完备性条件
* ˆ * ˆ ˆ 2）反线性算符： A ( c1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2
二、算符的代数运算 三、厄密算符和幺正算符
3）单位算符： Iˆ ψ = ψ 4）零算符：
ˆ Oψ = O
ˆˆ ˆ ˆ 5）算符之逆： A A −1 = A −1 A = Iˆ
2、幺正算符（unitary operator）
1）等距算符（isometric operator）
对任意的两个态ψ、φ，均有(Aψ,Aφ)= (ψ,φ)=成立，则A 即称为等距算符。 换言之，即有 A+ A = 1 成立；但这时 AA+ = 1 未必成立！ 一般来说，一个算符的“逆算符”应同时既是左逆又是右逆。 但在某些情况下，只有左逆（或右逆）存在。这种情况通常 发生于定义在无穷维Hilbert空间中的算符上。例：产生算符 和湮灭算符的逆。
⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ c2 ⎟ =⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎝ ⎠
ψ = ∑ cn ϕ n
n
左矢与右矢互为厄米共轭
(ψ )
+
= ψ ,
(ψ )
+
= ψ
它的厄米共轭态矢为：
* ψ = ∑ ϕ n c n = (c1* n * c2
对于正交归一的基矢，可有
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ = ⎜ ⎟, ⎜.⎟ ⎜.⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ = ⎜ ⎟ , ...... ⎜.⎟ ⎜.⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
3）基矢：
一个矢量空间中可以有多组完全集，正交归一的完全集构 成空间的一组基矢。一个空间可有不同的多组基矢。 问题：完全集与基矢组有何区别和联系？ 一个矢量空间，只要知道它的一个完全集，总可以用Schmidt 正交化方法找到一组基矢。
2、其次考虑构造 ϕ n 2 = αϕ n1 + βψ n 2 ，利用正交性的要求
ϕ n1 = ψ n1
(ψ n1 ,ψ n1 )