温度 16 17 18 19 20 21 22

1.37 1.25 1.15 1.04 0.95 0.87 0.79

0.73 0.67 0.62 0.57 0.53 0.52 0.48
温度 30 31 32 33 34 35 40

0.45 0.42 0.39 0.36 0.34 0.31 0.23
f 3vd (1 2.4
d d 3 19 2 )(1 1.6 )(1 Re Re ) D h 16 1080
（29-11）
由上式可见，当 Re 较小时，可以只考虑第一级修正，随着 Re 逐渐增大，需要将第二、第三甚至更多级的 修正考虑进来，而当 Re
³ 1时，公式中的修正项会变得比主项还大，这表明此时流体内的运动已经产生质
的变化，基于斯托克斯公式的（29-11）式不再适用。 在实际操作中，一般当 0.1 < Re 算公式可以写成（试着推导一下） ： ，此时粘滞系数计 < 0.5 时我们仅考虑第一级雷诺数修正（为什么？）
2
0 gd 2t
18 S
1 1 1 1 3 (1 2.4d / D)(1 1.6d / h) (1 3 R ) (1 Re ) e 16 16
三：高雷诺数修正
不仅液体的边界条件对小球在其中的运动有较大影响，物体在均匀稳定液体中的运动实际上还受到雷 诺数 Re 的影响。雷诺数是描述流体运动或物体在均匀稳定液体中运动的一个重要的无量纲参数：
Re º
r0 × v × r h
(29-10)
其中 r 0 是液体密度， v是物体运动速度或流体稳定流速， r 是运动物体的线性尺度，对本实验而言即小球 半径， h 是液体的粘滞系数。雷诺数的大小决定了物体在液体中的运动方式，一般当 Re
1
行设计。下面我们将在三个不同的理论层次上探讨测量液体粘滞系数的方法，这三个层次循序渐进，体现 了实验手段和理论手段在物理实验中的作用和特点，同时反映出针对同一个问题如何在实验中层层深入， 不断提高测量结果的准确程度，而这正是物理学实验的魅力所在。
一：外推法 既然用上述落球法测量出来的收尾速度 v0 与液体尺度有关，那么我们不妨在实验中就 v0 对液体 尺度的依赖关系进行定量研究，如果该依赖关系存在规律，则有可能对我们的测量带来帮助或指引。由于 上述讨论中对液体的形状没有做具体要求，我们在实验中采用试管作为容器，这样得到具有轴对称性的液 柱，于是我们要研究的就是液柱的尺度大小对 v0 的影响。为简化测量，可先固定液柱的高度，改变液柱横 截面积，这可以用一组直径不同的试管来实现（见图 29-1） 。将这些试管装上同种待测液体，安装在同一 水平底板上，每个管子上都用两条刻线 A、B 标出相等的间距，记为 S （上刻线 A 与液面间应留有适当距 离，使得小球下落经过 A 刻线时，可以认为小球已进入匀速运动状态） 。依次测出小球通过管中的两刻线 A、B 间所需的时间 t ，各管的直径用 D 表示，则通过大量的实验，我们就可以得到 t 与 D 之间的关系。 已有的数据表明， t 与 1/ D 成线性关系。即以 t 为纵坐标轴，以 1/ D 为横坐标轴，根据实验数据可以作出 一条直线（动手画画看！ ） 。这是个好消息，因为如果延长该直线与纵轴相交，其截距对应的是 1/ D = 0 时 的 t 0 ，而 1/ D = 0 正好对应 D ® ¥ ，于是我们用这种方法就可以外推出在“无限广延”的液体中，小球匀 速下落通过距离 h 所需的时间 t 0 。所以有
f 3vd
（29-1）
式中 d 是小球的直径，v 是小球的速度， 为液体粘滞系数。 就是液体粘滞性的度量，与温度有密切的 关系，对液体来说， 随温度的升高而减少（见附表） 。 本实验应用落球法来测量液体的粘滞系数。小球在液体中做自由下落时，受到三个力的作用，三个 力都在竖直方向，它们是重力 r gV 、浮力 r0 gV 、粘滞阻力 f。开始下落时小球运动的速度较小，相应的 阻力也小，重力大于粘滞阻力和浮力，所以小球作加速运动。由于粘滞阻力随小球的运动速度增加而逐渐 增加， 加速度也越来越小， 当小球所受合外力为零时，趋于匀速运动，此时的速度称为收尾速度，记为 v0 。 经计算可得液体的粘滞系数为
7
< 1（相当于小尺
度物体在低密度、高粘滞系数的液体中进行低速运动）时称低雷诺数运动，此时液体中的粘滞力起主导作 用，而液体的惯性力可以忽略，运动物体感受到周围液体以层流方式流动；而当 Re
> 1时（相当于大尺度
物体在高密度、低粘滞系数的液体中进行高速运动）称物体做高雷诺数运动，此时液体的惯性力作用逐渐
附表 一、钢的密度 =7800kg/m3
6
蓖麻油的密度 0 =962kg/m3 甘油的密度 0 =1261 kg/m3 二、蓖麻油的粘滞系数值与温度的关系 温度(℃) 温度 0 10 11 12 13 14 15
( Pa• S)
温度 23 24 25 26 27 28 29

53.0 2.42 2.20 2.00 1.83 1.67 1.51
（29-12）
其中1 即（29-9）式边界效应修正后的粘滞系数。
操作步骤 1．调节液体粘滞系数仪的底脚螺丝，用气泡水准仪观察其水平，以保证有机玻璃管中心轴线处于铅 直状态。 2．用螺旋测微器测量小钢球的直径 d （选不同方向测量 5 次后取平均） 。 3．用游标卡尺测量各管子的内直径 D （选不同方向测量 5 次后取平均） 。 4．用钢板尺测量管子上 A、B 刻线间的距离 S （选不同方向测量 5 次后取平均） 。 5．用镊子将浸润后的小钢球依次从各管子上端中心处放入，并用秒表记下小钢球在管子中 A、B 刻线 间下落的时间 t 。 6. 用厘米刻度尺测量各试管内液体总高度 h (只需测量一次)。
3
增强，尤其是当雷诺数超过某个阈值时（一般 Re
> 2000 ）液体中的粘滞力可以忽略，物体感受到周围液
体以湍流方式流动，展现出非常复杂的混沌效应。由于雷诺数对物体在液体中的运动影响很大，即便是对 小雷诺数下的运动，公式（29-8）也需要做进一步修正，此时粘滞力在（29-8）式的基础上还要再乘上一 个与雷诺数有关的修正项：
注意事项 1．待测液体应加注至管子内刻线 A 上一定位置，以保证小球在刻线 A、B 间匀速运动。 2．小球要于管子轴线位置放入。 3．放入小球与测量其下落时间时，眼与手要配合一致。 4．管子内的液体应无气泡，小球表面应光滑无油污。 5．测量过程中液体的温度应保持不变，实验测量过程持续的时间间隔应尽可能短。

( 0 ) gd 2 18v0
（29-2）
式中 0 是液体的密度， 是小球的密度，g 是当地的重力加速度。 可见， 只要测得 v0 ，即可由（29-2）式得到液体的粘滞系数。但是注意，上述推导包括（29-1） 、 （29-2） 式都在特定条件下方才适验方法的设计，这些条件大多 数都可以满足或近似满足（结合本实验所用仪器和实验步骤，思考一下哪些条件被满足，是如何做到的） ， 唯独“无限广延”在实验中是无法实现的。因此，为了准确测出液体的粘滞系数，我们需要进一步对实验进
表 29-1 次数 1 2
小钢球直径及管子直径数据 3 4 5 平均
d (mm)
d (mm）
表 29-2 次数 直径(mm) 1 2 各管子直径数据 3 4 5 平均
D1 D 1
D2
D 2
D3 D 3
D4
D 4
5
表 29-3 次数 距离 S (mm) 1
管子上两刻线间的距离数据 2 3 4 平均
实验二十九 液体粘滞系数的测定
实验目的 1．了解用斯托克斯公式测定液体粘滞系数的原理，掌握其适用条件。 2．学习用落球法测定液体的粘滞系数。 3．熟练运用基本仪器测量时间、长度和温度。 4．掌握用外推法处理实验数据。 实验仪器 液体粘滞系数仪、螺旋测微器、游标卡尺、钢板尺、钢球、磁铁、秒表、温度计。 当物体球在液体中运动时，物体将会受到液体施加的与运动方向相反的摩擦阻力的作用，这种阻力 称为粘滞阻力，简称粘滞力。粘滞阻力并不是物体与液体间的摩擦力，而是由附着在物体表面并随物体一 起运动的液体层与附近液层间的摩擦而产生的。粘滞力的大小与液体的性质、物体的形状和运动速度等因 素有关。 实验原理 根据斯托克斯定律，光滑的小球在无限广延的液体中运动时，当液体的粘滞性较大，小球的半径很 小，且在运动中不产生旋涡，那么小球所受到的粘滞阻力 f 为
误差计算：
E=
Dh
h
=
Dt 0 DS Dd + +2 t0 S d
（29-5）
Dh = E ×h
（29-6）
2
最终测量结果表示成：

二：有限边界条件修正
（29-7）
上述外推法虽然能比较准确地测量出液体的粘滞系数，但由于液柱高度 h 仍是有限的，所以液体还不 是真正意义上的无限扩展（你能否改进外推法得到更好的结果？） ，用（29-4）式得到的测量结果仍存在未 知误差。那么有无更好的方法来解决这个问题呢？让我们从头开始换个方式思考，既然容器的边界效应对 球体受到的粘滞力有影响，可否一开始就从理论上将液体尺度的影响因素考虑进来？实际上是可以的，通 过流体力学的分析可以证明，在其他条件不变的前提下，对于本实验中采用的具有轴对称性的柱状液体， 小球在其中所受粘滞力公式（29-1）应修正成：
S (mm)
表 29-4 次数 时间(s) 1 2
小钢球下落时间数据 3 4 5 平均
t1
t1
t2 t 2
t3
t 3
t4
t 4
t 0
t1 t 2 t 3 t 4 4
表 29.5 各试管内液体高度 试管
液体高度(mm)
h1
h2
h3
h4
问题讨论 1． 式（29-4）在什么条件下才能成立？ 2． 如何判断小球已进入匀速运动阶段？ 3． 观察小球通过刻线时，如何避免视差？ 4． 为了减小不确定度，应对测量中哪些量的测量方法进行改进？