初中数学二次函数的应用基础练习题（附答案详解）1．城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且a ≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是（ ）A ．4.8B ．5C ．5.2D ．5.52．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．43．如图，点A （a ，b ）是抛物线212y x =上一动点，OB ⊥OA 交抛物线于点B （c ，d ）．当点A 在抛物线上运动的过程中（点A 不与坐标原点O 重合），以下结论：①ac 为定值；②ac=﹣bd ；③△AOB 的面积为定值；④直线AB 必过一定点．正确的有（ ）4．如图，直线y=x+2与y 轴交于点A ，与直线y=﹣x 交于点B ，以AB 为边向右作菱形ABCD ，点C 恰与原点O 重合，抛物线y=（x ﹣h ）2+k 的顶点在直线y=﹣x 上移动．若抛物线与菱形的边AB 、BC 都有公共点，则h 的取值范围是（ ）A ．﹣2≤h≤B ．﹣2≤h≤1C ．﹣1≤h≤D ．﹣1≤h≤5．抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d≤1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≤2或m≥3B ．m≤3或m≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜46．周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A ．45B ．83C ．4D ．567．已知二次函数2y x x c =++的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．(1, 0)B ．(-1, 0)C ．(2, 0)D ．(-2, 0)8．如图，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1，y 2＝－12x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )A ．8B ．6C ．10D ．49．已知下列命题：①对顶角相等；②若a <b <0，则1a ＜1b ；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x 2﹣2x 与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45 10．已知二次函数y=﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ），其中a ＜b ，m 、n （m ＜n ）是方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A ．a ＜m ＜n ＜bB ．m ＜a ＜b ＜nC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b11．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣232t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ． 12．抛物线()y 4x 2=-2与y 轴的交点坐标是________．13．设11()A x y ，、22()B x y ，是抛物线2242y x x =+-上的点，坐标系原点O 位于线段AB 的中点处，则AB 的长为_____．14．若函数2y x 2x k =-++的部分图象如图所示，由图可知，关于x 的方程2x 2x k 0-++=的一根是3，则另一根为________．15．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x （0＜x ＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是_____．16．校运动会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩为________，铅球出手时的高度是________． 17．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a 米长的篱笆材料，•他设计了两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，•那么选用哪一种方案围成的场地面积较大________（填序号）．18．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高___元．19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，制定了促销条件：当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元．（1）若销售商一次订购x（x＞100）个零件，直接写出零件的实际出厂单价y（元）？（2）设销售商一次订购x（x＞100）个零件时，工厂获得的利润为W元（W＞0）．①求出W（元）与x（个）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；并算出销售商一次订购多少个零件时，厂家可获得利润6000元；②厂家为了达到既鼓励销售商订购又保证自己能获取最大利润的目的，重新制定新促销条件：在原有的基础上又增加了限制条件﹣﹣销售商订购的全部零件的实际出厂单价不能低于a（元）．请你利用函数及其图象的性质求出a的值；并写出实行新促销条件时W （元）与x（个）之间的函数关系式及自变量x的取值范围．（工厂出售一个零件利润=实际出厂单价﹣每个零件的成本）20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣22x22与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．(1)求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+22GE的最小值；(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C 的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．21．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P 作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．22．某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，有以下两种围法．（1）如图1，设花圃的宽AB为x米，面积为y米2，求y与x之间的含函数表达式，并确定x的取值范围；（2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，设花圃的宽AB为a米，面积为S米2，求S与a之间的函数表达式及S的最大值？24．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C(1，2)，与x轴交于A(﹣1，0)、B两点(1)求抛物线C的解析式；(2)如图1，直线y＝34x交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值；(3)如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D的坐标．25．如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？参考答案1．C【解析】【分析】先用待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y 取得最大值时x 的值即可得答案．【详解】将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：1640.43255 1.13660.87a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：0.454.7211.25a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y =-0.45x 2+4.72x -11.25，当x =-()4.7220.45⨯-≈5.244时，y 取得最大值， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 2．D【解析】分析：在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题．详解：当x=0时，y=3，故柱子OA 的高度为3m ；（1）正确；∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x 2+2x+3=0，得x 1=-1，x 2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选：C ．点睛：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x 轴交点，y 轴交点的实际意义是解决问题的关键．3．C 【解析】分析：过点A 、B 分别作x 轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．AOB 的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB 的解析式，即可判断④是否正确．详解：过A . B 分别作AC ⊥x 轴于C. BD ⊥x 轴于D ，则：AC =b ，OC =−a ，OD =c ，BD =d ；(1)由于OA ⊥OB ,易知△OAC ∽△BOD ，有：,AC OC OD BD = 即,b a c d=- ∴ac =−bd (结论②正确).(2)将点A. B 的坐标代入抛物线的解析式中，有：212b a = …Ⅰ、212d c =…Ⅱ； Ⅰ×Ⅱ,得：221,4bd a c =即221,44ac a c ac -==- (结论①正确). (3)AOB ACO BOD ACDB S S S S =--梯形,11111()()()22222b dc a a b cd bc ad =+----=-, 144116()().22bc bc c b bc -=-⋅=+ 由此可看出,△AOB 的面积不为定值(结论③错误).(4)设直线AB 的解析式为：y =kx +h ，代入A . B 的坐标，得：ak +h =b ...Ⅲ、ck +h =d (Ⅳ)Ⅲ×c −Ⅳ×a，得：221112222a c acbc adh acc ac a--===-=--，∴直线AB与y轴的交点为(0,2)(结论④正确).综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选C.点睛：属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数关系式，相似三角形的判定与性质，以及图形面积的求法，难点在于对式子的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子之间的联系找出答案.4．A【解析】【分析】【详解】当抛物线经过C且顶点在C右侧时，y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣x,过C(0,0),y=（x﹣h）2-,解得h1=，h2=0.(舍去)当抛物线经过B点时，将B（-2，1）代入y=（x﹣h）2-，解得h1=-2,h2=.(舍去)所以﹣2≤h ≤.故选A.5．B【解析】【分析】把A （4，4）代入抛物线y=ax 2+bx+3得4a+b=14，根据对称轴x=-2b a ，B （2，m ），且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d≤1，所以0<|2-(-2b a )|≤1，解得a≥18或a≤-17，把B （2，m ）代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，得到a=78-4m ，所以78-4m ≥18或78-4m ≤-18，即可解答．【详解】把A(4,4)代入抛物线y=ax 2+bx+3得：16a+4b+3=4，∴16a+4b=1， ∴4a+b=14， ∵对称轴x=−2b a ,B(2,m)，且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d ≤1， ∴0<|2−(−2b a)|≤1 ∴0<|42a b a|≤1， ∴|18a|≤1， ∴a ≥18或a ≤−18， 把B(2,m)代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，2(2a+b)+3=m ， 2(2a+14−4a)+3=m ， 72−4a=m ， a=78-4m ， ∴78-4m ≥18或78-4m ≤-18， ∴m ≤3或m ≥4.故答案选：B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.6．B【解析】设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x - =2348()(04)233x x --+<< ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m²,故选B. 点睛：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-3x 2，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。