· · m2d2 m1
C× m2
o
d1
d2
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y （x1, y1）
xcm x1 3m m x20x1 3x2
o
x2 x
yc
my100y1 3m 3
n
对质量连续分布的物体，
将其分为n个小质元
rvc
直角坐标系中的分量表达式
rimi
i1
m
1 m
rvdm
1
1
1
x c m x d m , y c m y d m , z c m z d m
中球：m 2 8 m 0,x 2 R /2 ,y 2 0 三个球体可视为质量
系小统球的：总m 质3 量m 为0 ,m x 3 m R 1 /2 m ,2 y 3 m 3R 5 /4 m 7 0 各心自）集处中的在三质个心质（点球。
x c m 1 x 1 m m 2 x 2 m 3 x 3 0 4 m 0 5 R 7 m 0 m 0 R /2 1 1 7 4 R
例：计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。
解：取如图所示的坐标系
取微元ds=dxdy，质量为dm=σds=σdxdy
∴ 质心的x 坐标为
xcxddm mxddxxddyyxddxxddyy
( xdy)dx
从图中看出三角形斜边的方程为
yaa x
b
2 b x(a a x)dx
xc 0
★质心的运动代表着质点系整体的运动，与单个质点的运动相同。 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质。
质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和相对于质心的运动
§2 质心参考系
质心参考系是固结在质心上的平动参考系。
质心在其中静止，一般选取质心作为坐标系的原点。
r'rr
i
i
c
N
r
rrc N
卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统，
它们的共同质心在冥王星表面以外。
§3 质心运动定理
1、p 系 统 的m 总i动v i量 m v c
系统内各质点的动量的矢量和等于
z ··
·
·
·C×vC rC ·ri
·vi · mi
系统质心的速度与系统质量的乘积
y c m 1 y 1 m 2 m y 2 m 3 y 3 0 0 5 7 m m 0 0 R /4 2 1 2 8 R
实例
★重心(Center of Gravity)和质心( Center-of-Mass)是两个不同的 概念： ① 重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。 ② 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1 质心
运动员跳水
若令系统总动量
p 投掷m 手iv 榴i 弹m v c 水平上抛三角板
其中 m m i m 1 m 2 L L 为质点系的总质量
质vrvrcc 点 系ddrv的tcmm整ivr体i 运如动点何mm可的i确d位以d定rvti置等这？效个为mmd一itdr个vi 假vrr想rci 质 d点drvtiCmm的i rri运动。
b ab
1 ab 2
同理
x(a
a b
x)dx
b
aa x b
2 ydxdy
yc
0
0
ab
a 3
2(1 2
ab2
a 3b
b3)
(ab2
2 3
ab2
)
b
abห้องสมุดไป่ตู้
ab
3
∴ 质心的坐标为
b 3
,
a 3
例：半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部
放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同。
n
rc
m iri
i1 n
mi
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。
质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。
i1
直角坐标系中，各分量的表达式
n
mixi
n
miyi
n
mizi
xc
i1 n
,
yc
i1 n
,
zc
i1 n
mi
mi
mi
i1
i1
i1
对两质点系统，质心位
置总满足关系式：m1d1 =
求：系统的质心。
y
解：该系统可看成由质量分布均匀(无空腔)的
大、中、小三个球体组成，它们各自的质心分
别处于球心处。中球的质量为负。
x
V 1 : V 2 : V 3 R 1 3 :R 2 3 :R 3 3 6 4 :8 : 1
设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为：
o
大球： m 1 6 4 m 0,x 1 0 ,y 1 0
线分布：d m m d l l
面分布：dm m dS S
体分布：dm m dV V
•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； •密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； •质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。
例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ 求：它的质心位置？
解：建立坐标系如图,
由对称性 xc 0
线密度 l M
取dl → dm=ldl
R
dm M Rd yRsin
dl=Rd
R
yc
ydm
M
RsinM M RRdR0sind
R(cos)0R(11)2R
质心不在物体上，但 相对半圆环位置固定
例：求半径为R的半球形球壳的质心
解：根据对称性，细环的质心位于y轴。
如图将球壳细分成无数多细环，细环
半径记为r，设球壳质量面密度为，
则其中任一细环的质量为
o
r R sin
r y R cos
R
d m (2 r d l) (2 r R d)2R2sind
半球壳的总质量为
m d m 2 R 2 0 2 s in d 2 R 2
半球壳质心的位置
xc0 , ycy m d m 0 22 R 32 s in R 2co sd 1 2R
m i ri mi
mi(ri rc) miri' 0
z z'
ri'
rc x' ri
i1
求导
N mivi '
i1
0
i1
x
mi
y'
y
从质心系中来看，系统总动量=0，零动量参考系 动量守恒
质 质心心系系中不的一速定度是惯v 性' 系，v 只 有v 合外力为零时质心系才是惯性系。
i
i
c
在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。
但质心却依然存在。 ③ 除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。
•作用在物体上各部分的重力方向平行；重力加速度可以视为常数。
•小线度物体（其上 g各处相等），质心和重心是重合的。
对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了， 如高山的重心比质心要低一些。