第一章绪论
1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*
****
r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈
2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()
p xf x C f x = 又1'()n f x nx -=, 1
||n p x nx C n n
-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅
且(*)r e x 为2
((*))0.02n r x n ε∴≈
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯
解：*1 1.1021x =是五位有效数字；
*20.031x =是二位有效数字；
*3385.6x =是四位有效数字；
*456.430x =是五位有效数字；
*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .
其中****
1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：
*4
1*3
2*13*3
4*1
51
()102
1()102
1()102
1()102
1()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ ***124***1244333
(1)()
()()()
111101010222
1.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143
(2)()
()()()
1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222
0.215
x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈
**24****24422
*4
33
5(3)(/)()()
110.0311056.430102256.43056.430
10x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343
V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343
p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=
又(*)1r V ε=
故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=
⨯≈
6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）
计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？
解：1n n Y Y -=
10099Y Y ∴=
9998Y Y =
9897Y Y =……
10Y Y =
依次代入后，有1000100Y Y =-
即1000Y Y =，
27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-
*310001()()(27.982)102
Y Y εεε-∴=+=⨯ 100Y ∴的误差限为31102
-⨯。
7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。
解：2
5610x x -+=，
故方程的根应为1,228x =
故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字
211280.0178632827.98255.982
x =-=≈=≈+ 2x 具有5位有效数字
8．当N 充分大时，怎样求1
211N N dx x
++⎰
解 1
2
1arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+⎰ 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。
则tan 1,tan .N N αβ=+=
1
2211arctan(tan())
tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan 1
N N dx
x N N N N
N N αβαβαβαβ
++=-=--=++-=++=++⎰ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2
1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=.
当*100x =时，若(*)1A ε≤,
则21(*)102x ε-≤⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm
10．设212
S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：21,02
S gt t => 2(*)(*)S gt t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加
2*2*(*)(*)*
(*)1()2
(*)2r S S S gt t g t t t
εεεε===
当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。
11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),
若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：02 1.41y =≈
201(*)102
y ε-∴=⨯ 又1101n n y y -=-
10101y y ∴=-
10(*)10(*)y y εε∴=
又21101y y =-
21(*)10(*)y y εε∴=
220(*)10(*)
......y y εε∴=
10100102
8
(*)10(*)
1101021102
y y εε-∴==⨯⨯=⨯
计算到10y 时误差为81102
⨯，这个计算过程不稳定。
12．计算61)f =
≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
, 3(3-,
， 99- 解：设6(1)y x =-，
若x =* 1.4x =，则*11102
x -ε()=⨯。
计算y 值，则
***7***7**1(1)6(1)
y x x y x x y x ε()=--6⨯
ε()+ =ε()+ =2.53ε()
若通过3(3-计算y 值，则
**2******(32)632y x x y x x
y x ε()=-3⨯2⨯-ε()
=
ε()- =30ε()
计算y 值，则 ***4***7**1(32)1(32)
y x x y x x y x ε()=--3⨯
ε()+ =6⨯ε()+ =1.0345ε()
计算后得到的结果最好。
13
．()ln(f x x =,求(30)f 的值。
若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多
大？若改用另一等价公式。
ln(ln(x x =-
计算，求对数时误差有多大？
解
()ln(f x x =
, (30)ln(30f ∴=-
设(30)u y f ==
则*
u =29.9833 *412
u -∴ε()=⨯10 故
****3
10.0167
y u u u -1ε()≈-
ε()30- =ε() ≈3⨯10 若改用等价公式
ln(ln(x x =-
则(30)ln(30f =- 此时，
****7159.9833
y u u u -1ε()=∣-
∣ε()30+ =⋅ε() ≈8⨯10。