第二章 二次函数
§2.1 二次函数所描述的关系
学习目标:
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点:
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习难点:
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
学习方法:
讨论探索法.
学习过程:
【例1】函数y=（m ＋2）x 22 m ＋2x －1是二次函数，则m= ．
【例2】下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x ＋x 1； ②y=3（x －1）2＋2； ③y=（x ＋3）2－2x 2； ④y=21x
＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【例3】 ⑴正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．
⑵已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．
⑶已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．
⑷已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．
【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式．
【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．
【例6】如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，
如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．
【例7】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中，第一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
课后练习:
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2．当m 时，y=（m －2）x 22-m 是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．
4．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．
5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=2
1mv 2（m 为定值）．（1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值：
（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？
6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2
＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）
A ．m 、n 为常数，且m ≠0
B ．m 、n 为常数，且m ≠n
C ．m 、n 为常数，且n ≠0
D ．m 、n 可以为任何常数 8．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） A ．S=2π（x ＋3）2 B ．S=9π＋x C ．S=4πx 2＋12x ＋9 D ．S=4πx 2＋12x ＋9π
9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ）
A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．
10．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y=6x 2
＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x ＋1 11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．
12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，
通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流
为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．
13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x
元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示？
15．⑴已知：如图菱形ABCD中，∠A=60°，边长为a，求其面积S与边长a的函数表达式．
⑵菱形ABCD，若两对角线长a：b=1：3，请你用含a的代数式表示其面积S．
⑶菱形ABCD，∠A=60°，对角线BD=a，求其面积S与a的函数表达式．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．。