第二章习题答案2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。

解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间(),t t t +∆内从状态k 转移到k+1（k>=0）的概率为()t o t λ∆+∆，λ为状态k 的出生率；当有顾客服务完毕离去时，在时间(),t t t +∆内从状态k 转移到k-1（k>=1）的概率为()t o t μ∆+∆，μ为状态k 的死亡率；在时间(),t t t +∆内系统发生跳转的概率为()o t ∆；在时间(),t t t +∆内系统停留在状态k 的概率为()()1t o t λμ-+∆+∆； 故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。

2-3 对于一个概率分布{}k p ，令()∑∞==+++=02210...k k k x p x p x p p X g 称为分布{}k p 的母函数。

利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。

解：对于M/M/1)1(ρρ-=k k p 0≥k()'122''212111()(1)(1)...(1)1[]()/1[][]()/[]([])1z k k z k k g z z zE k g z Var k k p kp g z E k E k ρρρρρρρρρ=∞∞===∴=-+-+=--∴==-=-=+-=-∑∑2-4 两个随机变量X,Y 取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y ，证明：Z 的母函数为X,Y 母函数之积。

根据这个性质重新证明性质2-1。

证：设Z(!!!此处应为 X )的分布为：...,,210p p p ，Y 的分布为：...,,210q q q 由于{}{}{}{}{}∑∑∑=-===-===-====+==kr rk r k r k r q p r k Y p r X p r k Y r X p k Y X p k Z p 0,()()()()... (01100110022102210)0++++++++=++++++-k k k k x q p q p q p x q p q p q p x q x q q x p x p p所以 g(Z)=g(X)g(Y)对于两个独立的Poisson 流，取任意一个固定的间隔T ，根据Poisson 过程性质，到达k 个呼叫的概率分别为：Tk i k i e k T T p λλ-=!)()( i=1,2 这两个分布独立分布列的母函数分别为：)1(00!)()(--∞=-∞====∑∑x T T Tx k Tk k i kk k i i i i e e e e x k T x T p λλλλλ 他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积)1()()1()1(2121-+--==x T x T x T e ee λλλλ所以 合并流为参数21λλ+的 Poisson 过程。

2-7 求k+1阶爱尔兰（Erlang ）分布1+k E 的概率密度。

可以根据归纳法验证，1+k E 的概率密度为xk e k x μμμ-!)( x>=0 证明：利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求Z X Y =+的分布，当X 和Y 相互独立时，且边缘密度函数分别为()X f x 和()Y f y ，则()()()Z X Y f z f x f z x dx ∞-∞=-⎰。

1k +阶Erlang 分布是指1k +个彼此独立的参数为μ的负指数分布的和。

用归纳法。

当1k =时，需证2阶Erlang 分布的概率密度为2xx eμμ-()()221ttt x xt t f t eedx e dx t e μμμμμμμμ------∞-∞===⎰⎰令n k =时成立，即()()!k tk t f t e k μμμ-= 则当1n k =+时，()()()()()121()!()!1!k ttt x x k k k k t t k tx f t f x f t x dx e e dxk t e x dx e k k μμμμμμμμμμ---+-∞-∞++---∞=-===+⎰⎰⎰第三章习题答案3-1 证明：),1(),1(),(a s aB s a s aB a s B -+-=证：110111000!(1,)(1)!(1)!!(,)(1,)!!!(1)!(1)!s s s k s k s s s s s k k k k k k a a a a a k aB s a s s s B s a a a s aB s a a a a s a s k k k s s --=---===---====+-++--∑∑∑∑3-2 证明：（1）a s a s B a s a s sB a s C >--=,)],(1[),(),(（2）a s a B a s aB a s a s C >=--+=-，且1),0()],1()[(11),(1（1）证：),(/11!!)/1(!!!!!!!!!)],(1[),(01100100a s C sa p s a k as a s a s ak a s a k a s a k a k a a s k a s a s a s B a s a s sB s s k k sss k k sk k ss k k s k k sk ks=-=-+=-=-=--∑∑∑∑∑∑-=-===-==（2）证：),(/11!!)/1(!!)!1(!)(11)],1()[(11011101a s C sa p s a k as a s a s a s a ak a a s a s aB a s s s k ksss s k k =-=-+=--+=--+∑∑-=--=-3-3 在例中，如果呼叫量分别增加10％，15％，20％，请计算呼损增加的幅度。

3-4 有大小a ＝10erl 的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前5条中继线每条通过的呼叫量。

解：第一条线通过的呼叫量：a 1=a [1-B (1,a )]=10×[]=第二条线通过的呼叫量：a 2=a [B (1,a )-B (2,a )]=10×[第三条线通过的呼叫量：a 3=a [B (2,a )-B(3,a )]=10×[第四条线通过的呼叫量：a 4=a [B(3,a )-B(4,a )]=10×[第五条线通过的呼叫量：a 5=a [B (4,a )-B(5,a )]=10×[ 对M /M /s 等待制系统，如果s >a ，等待时间为w ，对任意t >0。

请证明：ts e a s C t w P )(),(}{λμ--=>。

证：s >a∑∑∞=∞=>=>=>sk k k k k k p t w P p t w P t w P }{}{}{0∑-=-=>sk r t s r k e r t s t w P 0!)(}{μμ ， s k p s a s a p s k s k ≥=-0)(!])(!)([!])(!)([!)(!.!)(}{0000000∑∑∑∑∑∑∞==-∞=--=-∞=--=-==-==>l l lr r t s s s k s k sk r r ts s s k s k s sk r t s r s a r t s e p s a ls k s a r t s e p s a p s a s a e r t s t w P μμμμμμ令交换次序，得：0000()()0()1(){}[()][()]!!!1/!1(,)!1/s r s r s t l s tr r l r r ss t s t a a s t a a s t P w t p e p e s s r s s a s r a p e C s a e s a sμμμλμλμμ∞∞∞--===---->=-==-∑∑∑＝3-12 考虑Erlang 拒绝系统，或M /M /s （s ）系统，a ＝λ/μ。

一个观察者随机观察系统并且等待到下一个呼叫到来。

请证明：到来的呼叫被拒绝的概率为：),(a s B sa ap ⋅+=。

证：随机观察系统，下一个到来的呼叫被拒绝的必要条件为系统在随机观察时处于状态s ，其概率为B (s ,a )。

其次，下一个到来的呼叫被拒绝必须在到达间隔T 内，正在服务得s 个呼叫没有离去，这个事件的概率为P 。

T 服从参数为λ的负指数分布，在T 内没有呼叫离去的概率为：T s e μ-，则：as a s dT e e P T T s +=+==⎰∞--μλλλλμ0最后，到来的呼叫被拒绝的概率为：),(a s B as a+第四章习题答案解：),(R R R a s B a a a ρ+= 现 10,10,5.0===s a ρ 令),10(5.010)(),()(R R R R R R a B a a F a s B a a a F +=∴+=ρ迭代起点67.11287.0*65.11*5.010)65.11(65.11285.0*61.11*5.010)61.11(61.11281.0*51.11*5.010)51.11(51.11270.0*25.11*5.010)25.11(25.112373.0*5.10*5.010)5.10(5.10=+≈=+≈=+≈=+≈=+≈=F F F F F a R总呼叫量 erl a R 65.11≈总呼损 287.0)65.11,10(),(≈=B a s B R 解：617.220.1120.0*10)10,12(*10872.195.0132.0*2.7)2.7,9(*2.7========AC AC AB AB B B γαγα 在AD 上，溢出呼叫流的特征489.415.2=+==+=AC AB AC AB γγγααα利用Rapp 方法：088.2==αγz []811.10)1)(1]([,1164.1111)(304.11)1(3=+++++===---++==-+=zz s a s z z a s z z a ααααααγ则向下取整故等效系统为：a ＝,而s ＝11查表得，在AD 中继线为8时，B （11+8，）< 解：a ＝10，s ＝14 (1)通过呼叫量 erl B a a 44.9)056.01(*10))10,14(1(*'=-=-=根据例方查[]{}{}80.6)056.0084.0(101*44.9),(),1(1''=--=---=a s B a s B a a v峰值因子72.0''==av z（2）根据Wilkinson 定理 到达得呼叫量erl 56.0056.0*10==α237.2254.1)11(===-+++-=ααααvz as av 峰值因子解：首先，在直达路由时B （2，1）＝ B(2,2)= B(2,3)=所以，在 a ＝1，2，3erl 时，网络平均呼损分别为，，在由迂回路由时，由于对称关系，假定边阻塞率为b ，边上到达的呼叫量为A ，则 A=a+2b(1-b).a 考虑方程：b=B(s,A)=B 在a=1时，迭代求解为b= 网络平均呼损13.0])1(1[2≈--=b b56.064.0341.053.02≈≈=≈≈=网络平均呼损时在网络平均呼损时在b a b a第五章习题答案.证性质(2)：对于有向图，每条边有两个端，它们和边的关系不同。