有限元基础理论学习总结报告中国矿业大学（北京）14级硕士王涛通过课上和课下的学习，对有限元基础理论有了一定的了解和认识。

经过学习，更加深刻的理解了有限元的离散、单元类型、插值函数构造和等参变换等知识，现对有限元的基本理论和用法做了如下学习和报告。

已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。

一类是有限差分法，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。

借助于有限差分法能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系（Euler坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势，因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。

但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结的物体上的坐标系（Lagrange坐标系）和形状复杂，另一类数值分析方法——有限元法则更为合适。

有限差分法：特点：以差分方程近似微分方程，直接数值求解原问题的微分方程，在流体力学，岩土力学领域占重要地位。

有限元法：特点：区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从等效的积分形式出发，数值求解原问题的等效积分方程。

基本思想：1 将求解域离散为有限个子域（单元）的集合2 分片逼近待求函数分析过程：1 单元特性分析，单元节点位移与节点力之间的关系2 系统特性分析，将单元刚度矩阵集成整体刚度方程1. 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理1.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法1.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组()0A u =（在Ω内） （1.1.1） 域Ω可以是体积域、面积域等。

同时未知函数还应满足边界条件()0B u =（在Г内） （1.1.2） Г是域Ω的边界。

由于微分方程组（1.1.1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有0...))()(()(2211=Ω++=Ω⎰⎰ΩΩd A A d A T μυμυμυ （1.1.3）其中是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。

（1.1.3）式与微分方程组（1.1.1）式是完全等效的积分形式。

同理，加入边界条件（1.1.2）也同时在边界上每一点都得到满足，则其等效积分形式（微分方程）为0)()(=Γ+Ω⎰⎰ΓΩd B d A TT μυμυ (1.1.5) 对（1.1.5）分部积分得到等到另一种形式 0)()()()(=Γ+Ω⎰⎰ΓΩd F E d D C T μυμυ (1.1.6) 其中C 、D 、E 、F 是微分算子，它们中包含的阶数较（1.1.5）式的A 低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。

在（1.1.6）式中降低的连续性要求是以提高υ和υ的连续性要求为代价的。

这种通过适当提高对任意函数υ和υ的连续性要求，以降低对微分方程场函数的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。

1.1.2 基于等效积分形式的近似方法——加权余量法对微分方程（1.1.1）式和边界条件（1.1.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数可以采用近似函数来表示。

近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是Na a N i i ni ==≈∑=1μμ （1.1.7）其中i a 是待定参数；i N 是称之为试探函数（或基函数、形函数）的已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。

显然，近似解不能精确满足微分方程（1.1.1）式和全部边界条件（1.1.2）式，它们将产生残差R 和R ，即R Na A =)(;R Na B =)(。

残差R 和R 亦称为余量。

在（1.1.5）式中用n 个规定的函数来代替任意函数υ和υ，即j W =υ； j W =ν )~1(n j = （1.1.8） j W 和j W 称为权函数。

对应等效积分“弱”形式（1.1.6）式，同样可以得到它的近似形式为0)()()()(=Γ+Ω⎰⎰ΓΩd Na F W E d Na D W C j T j T ),...,1(n j = （1.1.9） 采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解得方法称为加权余量法。

对于权函数不同的选择可分为配点法，子域法，最小二乘法，力矩法和伽辽金法。

1.2 变分原理如果微分方程具有线性和自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，还可以建立与之相等效的变分原理，并进而得到基于它的另一种近似求解方法，即里兹方法。

1.2.1 线性、自伴随微分方程变分原理的建立1. 线性、自伴随微分算子若有微分方程0)(=+b u L （在Ω域内） （1.2.1） 其中微分算子L 具有如下性质)()()(2121u L u aL u au L ββ+=+ （1.2.2）则称L 为线性算子，方程（1.2.1）为线性微分方程。

其中a 和β是两个常数。

现定义)(u L 和任意函数的内积为⎰ΩΩvd u L )( （1.2.3） 对上式进行分部积分直至u 的倒数消失，这样就可以得到转化后的内积并伴随有边界项。

结果可表示如下：),.(.)()(*v u t b d v L vd u L +Ω=Ω⎰⎰ΩΩ （1.2.4） ),.(.v u t b 表示在Ω的边界Г上由u 和v 及其导数组成的积分项。

*L 称为L 的伴随算子。

若*L =L ，则称算子是自伴随的。

微分方程（1.2.1）为线性、自伴随的微分方程。

2. 泛函的构造原问题的微分方程和边界条件表达如下0)()(=+=f u L u A （在Ω内）0)(=u B （在Г上） （1.2.5） 和以上微分方程及边界条件相等效的伽辽金提法可表示如下0)(])([=Γ-Ω+⎰⎰ΓΩd u B u d f u L u T T δδ （1.2.6） 利用算子是线性、自伴随的，就可得到原问题的变分原理0)(=∏u δ （1.2.7）其中).(.])(21[)(u t b d f u u L u u T T +Ω+=∏⎰Ω 是原问题的泛函，以为内此泛函中u （包含u 的导数）的最高次为二次，所以称为二次泛函。

原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即变分取驻值。

1.3 弹性力学的基本方程和变分原理1.3.1弹性力学基本方程的张量形式1. 平衡方程0,=+i j ij f σ（在V 内） )3,2,1(=i （1.3.1）2. 几何方程——应力-位移关系)(21,,i j j ij ij u u +=ε（在V 内） )3,2,1,(=j i （1.3.2）3. 物理方程——应力-应变关系kl ijkl ij D εσ= （在V 内） )3,2,1,,,(=l k j i （1.3.3）4. 力的边界条件i i T T = （在σS 内） )3,2,1(=i （1.3.4）其中 j ij i n T σ=，j n 是外界法线n 的三个方向余弦。

5. 位移边界条件i i u u = （在u S 上） )3,2,1(=i （1.3.5）6. 应变能和余能单位体积应变能kl ij ijkl mn D U εεε21)(=（1.3.6） 单位体积余能 kl ij ijkl mn C V σσσ21)(= （1.3.7） 1.3.2 平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式——虚功原理虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。

作为弹性力学微分方程的等效积分形式，虚位移原理与虚应力原理分别是平衡方程与力的边界条件和几何方程与位移边界条件的等效积分形式。

在导出它们的过程中都未涉及到物理方程，所以它们不仅可以用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。

将物理方程引入虚位移原理和虚应力原理可以分别导出最小位能原理和最小余能原理。

它们本质上和等效积分的伽辽金“弱”形式相一致。

这是建立弹性力学有限元方程的理论基础。

弹性力学最小位能原理和最小余能原理都属于自然变分原理。

2 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。

最小位能原理的未知场变量是位移，以节点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立有限单元为位移元。

它是有限元方法中应用最为普遍的单元。

对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。

平面问题3节点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。

以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达式。

2.1 弹性力学平面问题的有限元格式2.1.1 单元位移模式及插值函数的构造图2.1 3节点三角形单元1. 单元的位移模式和广义坐标 在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。

多项式的选取应有低次到高次。

3节点三角形单元位移模式选取一次多项式u = β1 + β2x + β3yv = β4 + β5x + β6y （2.1.1） 其中61~ββ是待定系数，称之为广义坐标。

6个广义坐标可由单元的6个节点位移来表示。

在（2.1.1）的1式中带入节点i 的坐标),(i i y x 可得到节点i 在x 方向的x y0 u mv mu iv iu j v j ij m位移i u ，同理可得j u 和m u 。

它们表示为i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++=m m m y x u 321βββ++= （2.1.2）2. 位移插值函数将求得的广义坐标61~ββ代入（2.1.1），可将位移函数表示成节点位移的函数，即m m j j i i u N u N u N u ++=m m j j i i v N v N v N v ++= （2.1.3） 其中)(21y c x b a AN i i i i ++= ),,(m j i （2.1.4） i N ，j N ，m N 称为单元的插值函数或形函数，对于当前情况，它是坐标y 、x 的一次函数，其中的m c ,...,c b i i ，是常数，取决于单元的3个节点坐标。

2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程对于离散模型，系统总位能的离散公式[]∑⎰∑⎰++=∏e S e V p e e dS dV U σψφ （2.2.1）将结构总位能的各项矩阵表达成各个单元总位能的各对应项矩阵之和，隐含着要求单元各项矩阵的阶数（即单元的节点自由度数）和结构各项矩阵的阶数（即结构的节点自由度数）相同。