1 10.3 组合六教学目标: 1掌握组合数的性质并能应用组合数的性质解题. 2培养学生应用公式、性质的能力. 教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题. 教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法. 教学过程: 讲授新课例1有10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子�7�6要求每个盒子非空共有多少种放法�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数共有多少种放法方法一:�7�6设xyz10 x≥y≥z 其正整数解为x8y1z1x7y2z1 x6y3z1x6y2z2x5y4z1x5y3z2 x4y4z2x4y3z3 则放法有:.36443313AA �7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子再按�7�6放入每个盒子的小球数gt 0 设xyz7 x≥y≥z 其正整数解为x5y1z1x4y2z1 x3y3z1x3y2z2 则放法有:.1533313AA 方法二隔板法.如: 对应: �7�63629C �7�71526C 答:�6�7 练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队参加市中学数学应用题竞赛活动使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种611C462 练习2. 6人带10瓶汽水参加春游每人至少带1瓶汽水共有多少种不同的带法12659C 练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学每所小学至少得到2台共有种不同送法. 例2. 已知方程xyzw100求这个方程的正整数解的组数. 练习4. 已知方程x1x2x350求这个方程有多少组非负整数解. 1号2号3号1号2号3号1号2号3号2 隔板法就是把“”当成隔板把考察的对象分成若干份例3. 一座桥上有编号为123�6�710的十盏灯为节约用电又不影响照明可以把其中的三盏关掉但不能关掉相邻的两盏或三盏也不能关掉两端的路灯问不同的关灯方法有多少种练习5. 一条长椅上有9个座位3个人坐若相邻2人之间至少有2个空椅子共有几种不同的坐法例4. 一条长椅上有七个座位四人坐要求三个空位中有两个空位相邻另一个空位与这两个相邻空位不相邻共有几种坐法课堂小结 1. 隔板法2. 插入法3. 捆绑法. 捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一主要用于解决quot相邻问题quot及quot不邻问题quot。
总的解题原则是quot相邻问题捆绑法不邻问题插空法quot。
在实际公务员考试培训过程中我发现学员经常碰到这样的困惑就是一样类型的题目不过表达的形式有所变化就很难用已解过的题目的方法去解决它从而降低了学习效率。
下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式以实际例题详细讲解。
quot相邻问题quot 捆绑法即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时先整体考虑也就是将相邻元素视作一个大元素进行排序然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1 若有A、B、C、D、E五个人排队要求A和B两个人必须站在相邻位置则有多少排队方法【解析】题目要求A和B两个人必须排在一起首先将A和B两个人quot捆绑quot 视其为quot一个人quot也即对quotABquot、C、D、Equot 四个人quot进行排列有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B 两人也要排序有种排法。
根据分步乘法原理总的排法有种。
例2 有8本不同的书其中数学书3本外语书2本其它学科书3本若将这些书排成一列放在书架上让数学书排在一起外语书也恰好排在一起的3 排法共有多少种结果用数值表示解把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书与其它3本书一起看作5个元素共有A55种排法又3本数学书有A33种排法2本外语书有A22种排法根据分步计数原理共有排法A55A33A221440种. 【解析】把3本数学书quot捆绑quot在一起看成一本大书2本外语书也quot捆绑quot在一起看成一本大书与其它3本书一起看作5个元素共有种排法又3本数学书有种排法2本外语书有种排法根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】运用捆绑法解决排列组合问题时一定要注意quot 捆绑quot起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是quot 先捆绑再排列quot。
6个球放进5个盒子有多少种不同的方法其实由抽屉原理可知必然有两个球在一起。
所以答案是C6 2X A55 其实就是6取2与5的阶乘的积1、有10本不同的书其中数学书4本外语书3本语文书3本。
若将这些书排成一列放在书架上让数学书排在一起外语书也恰好排在一起的排法共有种。
2、5个人站成一排要求甲乙两人站在一起有多少种方法4 3、6个不同的球放到5个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球一共有多少种方法4、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目4个舞蹈节目要排在一起有多少不同的安排节目的顺序1、有ABCDE共5个人并排站在一起如果AB必须相邻并B在A的右边那么不同的排法有多少种2、将袋子里面的所有球排成一排要求红色的球彼此相邻有种方法3、将袋子里面的所有球排成一排要求红色的球互不相邻有种方法部分题目答案2、【解】P55×P55 3、【解】P44×P55 1、将袋子里面的所有球分成三组每组至少一个有种方法2、将袋子里面的所有球分成三组每组恰好三个有种方法3、将袋子里面的所有球分成至多三组每组至少一个有种方法5 4、将袋子中的五个红球排成一排若要求1号球不在第一个位置3号球不在第二个位置5号球不在第三个位置7号球不在第四个位置9号球不在第五个位置有种方法quot不邻问题quot插空法即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时先将其它元素排好再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置从而将问题解决的策略。
例3 若有A、B、C、D、E五个人排队要求A和B两个人必须不站在一起则有多少排队方法【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列有种排法若排成D C E则D、C、Equot中间quot和quot两端quot共有四个空位置也即是D C E 此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置有种插法。
由乘法原理共有排队方法。
例4 在一张节目单中原有6个节目若保持这些节目相对顺序不变再添加进去3个节目则所有不同的添加方法共有多少种【解析】直接解答较为麻烦可根据插空法去解题故可先用一个节目去插7个空位原来的6个节目排好后中间和两端共有7个空位有种方法再用另一个节目去插8个空位有种方法用最后一个节目去插9个空位有方法由乘法原理得所有不同的添加方法为504种。
例5 一条马路上有编号为1、2、�6�7�6�7、9的九盏路灯为了节约用电可以把其中的三盏关掉但不能同时关掉相邻的两盏或三盏则所有不同的关灯方法有多少种【解析】若直接解答须分类讨论情况较复杂。
故可把六盏亮着的灯看作六个元素然后用不亮的三盏灯去插7个空位共有种方法请您想想为什么不是因此所有不同的关灯方法有种。
【王永恒提示】运用插空法解决排列组合问题时一定要注意插空位置包括先排好元素quot中间空位quot和quot两端空位quot。
解题过程是quot先排列再插空quot。
例6 练习一张节目表上原有3个节目如果保持这3个节目的相对顺序不变再添加进去2个新节目有多少种安排方法国考2008-57 A20 B12 C6 D4 6 7 8 解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题它联系实际生动有趣但题型多样思路灵活不易掌握实践证明掌握题型和解题方法识别模式熟练运用是解决排列组合应用题的有效途径下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组当作一个大元素参与排列. 例1. 五人并排站成一排如果必须相邻且在的右边那么不同的排法种数有9 A、60种B、48种C、36种D、24种解析把视为一人且固定在的右边则本题相当于4人的全排列种选. 2.相离问题插空排:元素相离即不相邻问题可先把无位置要求的几个元素全排列再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行如果甲乙两个必须不相邻那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析除甲乙外其余5个排列数为种再用甲乙去插6个空位有种不同的排法种数是种选. 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序可用缩小倍数的方法. 例3. 五人并排站成一排如果必须站在的右边可以不相邻那么不同的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种解析在的右边与在的左边排法数相同所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半即种选. 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上可先把某个元素按规定排入第二步再排另一个元素如此继续下去依次即可完成. 例4.将数字1234填入标号为1234的四个方格里每格填一个数则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种解析先把1填入方格中符合条件的有3种方法第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格又有三种方法第三步填余下的两个数字只有一种填法共有3×3×19种填法选. 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组可用逐步下量分组法. 例5.1有甲乙丙三项任务甲需2人承担乙丙各需一人承担从10人中选出4人承担这三项任务不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析先从10人中选出2人承担甲项任务再从剩下的8人中选1人承担乙项任务第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务不同的选法共有种选. 212名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查若每个路口4人则不同的分配方案有A、种B、种C、种D、种答案. 6.全员分配问题分组法: 例6.14名优秀学生全部保送到3所学校去每所学校至少去一名则不同的保送方案有多少种解析把四名学生分成3组有种方法再把三组学生分配到三所学校有种故共有种方法. 说明分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 10 25本不同的书全部分给4个学生每个学生至少一本不同的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种答案. 7.名额分配问题隔板法: 例710个三好学生名额分到7个班级每个班级至少一个名额有多少种不同分配方案解析10个名额分到7个班级就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆每堆至少一个可以在10个小球的9个空位中插入6块木板每一种插法对应着一种分配方案故共有不同的分配方案为种. 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设其中甲同学不到银川乙不到西宁共有多少种不同派遣方案解析因为甲乙有限制条件所以按照是否含有甲乙来分类有以下四种情况①若甲乙都不参加则有派遣方案种②若甲参加而乙不参加先安排甲有3种方法然后安排其余学生有方法所以共有③若乙参加而甲不参加同理也有种④若甲乙都参加则先安排甲乙有7种方法然后再安排其余8人到另外两个城市有种共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种. 9.多元问题分类法元素多取出的情况也多种可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数最后总计. 例91由数字012345组成没有重复数字的六位数其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种解析按题意个位数字只可能是01234共5种情况分别有个个合并总计300个选. 2从123…100这100个数中任取两个数使它们的乘积能被7整除这两个数的取法不计顺序共有多少种解析被取的两个数中至少有一个能被7整除时他们的乘积就能被7整除将这100个数组成的集合视为全集I能被7整除的数的集合记做共有14个元素不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素由此可知从中任取2个元素的取法有从中任取一个又从中任取一个共有两种情形共符合要求的取法有种. 3从123…100这100个数中任取两个数使其和能被4整除的取法不计顺序有多少种解析将分成四个不相交的子集能被4整除的数集能被4除余1的数集能被4除余2的数集能被4除余3的数集易见这四个集合中每一个有25个元素从中任取两个数符合要从中各取一个数也符合要求从中任取两个数也符合要求此外其它取法都不符合要求所以符合要求的取法共有种. 10.交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集可用集合中求元素个数公式. 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛如果甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有多少种不同的参赛方案解析设全集6人中任取4人参赛的排列A甲跑第一棒的排列B乙跑第四11 棒的排列根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有种. 11.定位问题优先法某个或几个元素要排在指定位置可先排这个或几个元素再排其它的元素。