第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共 16 小题，总计 80 分 )1、 (本小题 5 分 )求极限lim x 3 12 x1639x 212x 4x 2 2x2、 (本小题 5 分 )求xx 2 ) 2dx.(13、 (本小题 5 分 )求极限 limarctan xarcsin1xx4、 (本小题 5 分 )求x d x.1 x5、 (本小题 5 分 )求ddxx 21t 2 dt ．6、 (本小题 5 分 )求 cot 6 x csc 4 x d x.7、 (本小题 5 分 )2cos 1dx ．求 1 12xx8、 (本小题 5 分 )设xe tcost 2确定了函数 yy( x), 求dy．ye 2t sin tdx9、 (本小题 5 分 )3求 x 1x dx ．10、 (本小题 5 分 )求函数y 4 2 x x 2 的单调区间Y11、 (本小题 5 分 )求 2sin x．8 sin 2dxx12、 (本小题 5 分 )设 x t)e kt(3cos t4 sint ，求 dx ．()13、 (本小题 5 分 )设函数 yy x 由方程 y 2 ln y 2x 6 所确定 , 求 dy ．( )dx14、 (本小题 5 分 )求函数 yexe x的极值215、 (本小题 5 分 )求极限 lim( x1)2(2x 1)2 ( 3x 1) 2(10x 1)2x(10x 1)(11x 1)16、 (本小题 5 分 )求cos2x d x. sin xcos x 1二、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 14 分 ) 1、 (本小题 7 分 )某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 ,一边可用原来的石条围 沿,另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时 ,才能使材料最省 .2、 (本小题 7 分 )求由曲线 yx 2 和 y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积 .28三、解答下列各题 ( 本 大 题 6 分 )设 f (x)x(x 1)( x 2)( x 3), 证明 f ( x) 0有且仅有三个实根 .一学期期末高数考试 (答案 )一、解答下列各题(本大题共 16 小题，总计 77 分 )1、 (本小题 3 分 )解 : 原式lim 3x 2 12218x 12x 2 6x6xlimx 212 x 1822、 (本小题 3 分 )x2 2 d x(1 x )1 d(1 x2 ) 2(1x 2 ) 2112 1 x 2c.3、 (本小题 3 分 )因为 arctan x2而 limarcsinx故 limarctan x arcsin1xx4、 (本小题 3 分 )x d x1 x1 x 1 d x 1 xd xd x1 xx ln 1 x c.1 0x5、 (本小题 3 分 )求d dxx 21t 2 dt ．原式 2 x 14x6、 (本小题 4 分 )cot 6 x csc 4 x d xcot 6 x(1 cot 2 x) d(cot x) 1cot 7x1cot 9 x c.797、 (本小题 4 分 )212 cos1dx ．求 1xx21 1 原式1cos d ()xx1sin2 118、 (本小题 4 分 )设xe t cost 2确定了函数 y y( x), 求 dy．ye 2 t sin tdx解：dy e 2t (2 sin t cost)dxe t(cos t22t sin t 2)e t (2 sin t cost)(cost 2 2t sin t 2 )9、 (本小题 4 分 )3求 x 1 x dx ．令 1 xu2原式2 (u 4u 2 ) du1u 5 u 3)2 2(3151161510、 (本小题 5 分 )求函数y4 2 x x 2 的单调区间解： 函数定义域 ( , )y 2 2 x 2(1 x)当 x 1， y 0当x ， y 函数单调增区间为,11 0 当 x ， 函数的单调减区间为 1,1 y 011、 (本小题 5 分 )求 2sin x ．8 sin 2 dxx原式2d cos x9cos 2 x13 cosx 2ln6 3cosx 01ln 2612、 (本小题 6 分 )设 x t )e kt(3cos t4 sin t ，求 dx ．()解：dxx ( t) dte kt(4 3k ) cos t ( 4k 3) sin t dt13、 (本小题 6 分 )设函数 yy x 由方程 y 2ln y 2x 6 所确定,求 dy ．( )dx2y2yy6x 5yy3yx 5y2114、 (本小题 6 分 )求函数 y2e x e x 的极值解：定义域 (，), 且连续y 2e x(e2 x1) 2驻点： x1 ln 12 2由于 y2e xe x故函数有极小值 ,, y( 1ln 1 )2 215、 (本小题 8 分 )2 2求极限 lim ( x 1)2(2x 1)2 ( 3x 1) 2(10x 1)2x(10x 1)(11x 1)(1 1 ) 2 ( 2 1 )2 ( 3 1 ) 2(10 1 ) 2原式lim xx 1 )(11 x 1) xx (1010 11 21 x x6 10 117 216、 (本小题 10 分 )解 :cos2x dxcos2x dx1 sin x cos x1 1 sin 2x2d( 1sin 2x 1)211sin 2x 2ln 11sin 2x c2二、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、 (本小题 5 分 )某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 ,一边可用原来的石条围 沿,另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时 ,才能使材料最省 .设晒谷场宽为 x, 则长为512米 ,新砌石条围沿的总长为xL512(x 0)2xxL512唯一驻点x 1622xL10240 即 x 16为极小值点3x16米 , 长为512故晒谷场宽为 32米时 , 可使新砌石条围沿16所用材料最省2、 (本小题 8 分 )求由曲线 yx 2 和 y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的体积 .2 8解:x 2x 3 , 22x 3x 1,.28 8x0 x 1 4V x4 ( x 2)2 ( x 3)2 dx 4 x 4 x 6()dx284641 11 1 4( x 5 x 7 )4 5 64 7 044 ( 11 ) 512 三、解答下列各题 5735( 本 大 题 10 分 )设 f (x) x(x 1)( x 2)( x 3), 证明 f ( x)0有且仅有三个实根 .证明 : f (x)在 ( ,) 连续 , 可导 , 从而在 [ 0,3]; 连续 , 可导 .又 f (0)f (1)f (2) f (3) 0则分别在 [0,1],[ 1,2],[ 2,3] 上对 f ( x) 应用罗尔定理得 , 至少存在1 (0,1),2(1,2), 3 (2,3)使 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0即 f (x) 0至少有三个实根 , 又f (x) 0, 是三次方程 , 它至多有三个实根 ,由上述 f ( x) 有且仅有三个实根高等数学（上）试题及答案一、填空题（每小题 3 分，本题共15 分）21、lim (13x) x______ . 。

x 02、当 k=1e x x 00 处连续．时， f ( x)2k在 xx x 03、设y x ln x ,则dx______ x/ x+1 dy4、曲线y e x x 在点（0，1）处的切线方程是5、若 f ( x) dx sin 2x C ， C 为常数，则 f ( x)y=x+12cos2x。

二、单项选择题（每小题 3 分，本题共15 分）x1、若函数f ( x)，则 lim f ( x)（ D）x x0A 、 0B 、1C、 1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（B）A. ln 1( x0 ) B.ln x( x1) C.cosx ( x0) D.x2( x2) x x243、满足方程f ( x)0 的 x 是函数 y f ( x) 的（C）．A ．极大值点B．极小值点C．驻点D．间断点4、下列无穷积分收敛的是（B）A 、sin xdxB 、0e 2x dx C、1d x D、1dx0x x5、设空间三点的坐标分别为M （ 1， 1， 1）、A （ 2， 2， 1）、 B （ 2， 1， 2）。

则AMB =AA 、B 、C、2D、34三、计算题（每小题7 分，本题共 56 分）1、求极限lim4x2。

sin 2xx 02、求极限lim (11) x 0x e x1cos xe t 2dt3、求极限lim1x 2x 04、设 ye 5 ln( x1 x2 ) ，求 y5、设 fy(x) 由已知 xln(1 t 2 ) ，求 d 2 yyarctantdx 26、求不定积分12 sin( 23)dxx x7、求不定积分e x cos xdx1 x1 e x28、设 f ( x)， 求f ( x 1)dx1x1 x四、 应用题（本题 7 分）求曲线 yx 2 与 xy 2 所围成图形的面积 A 以及 A 饶 y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

五、 证明题（本题 7 分）若 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1)内可导，且f (0) f (1) 0 ， f ( 1)1 ，证明：2在 (0,1)内至少有一点，使 f ( ) 1 。

参考答案一。

填空题（每小题3 分，本题共 15 分）1、 e 62、k =1 ．3、x 4、 y 15、 f ( x) 2 cos2 x1 x二．单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）1、D2、B3、 C4、 B5、A三．计算题（本题共 56 分，每小题 7 分）1.解： lim4 x 2 lim xx 2)1lim2xx 2) 1 x 0 sin 2xx 0sin 2 x( 4 2 xsin 2x( 4 82.解 ： lim (11 )lim e x 1 xlime x1lime xxe x 1x 0x ex1x 0 x( ex1)x 0ex1 xexx 0e xe x 2cos xe t 2 dt23、解：lim 1x 2limsin xe cos x1x 0x 02 x2e1 1 1 4、解：yx 2(1 )x 1 1 x 21 x 2dy115、解：1t 2dx2t2t1 t 2d 2y d ( dy)11 t 2dx2t22tdx 2 4t 3dt dxdt1t 26、解：12 sin(23)dx1 sin(2 3)d ( 23)1cos(23) Cxx2 x 32x7、 解：e x cos xdxcos xde xe x cos xe x sinxdx e x cos x sin xde xe x cos x e x sin x e x cos xdxe x (sin x cos x) C2 1f ( x)dx1 8、解： f ( x 1)dxf ( x)dxf ( x)dx ⋯11dx1dx11 e x1x0 (1e x x )dxln( 1 11ex) 011 ln( 1 e x0 ln 2)11 ln( 1 e 1 ) ln(1 e)四．用 （本 7 分）解：曲 yx 2 与 x y 2 的交点 （ 1， 1），于是曲 yx 2 与 xy 2 所 成 形的面A131x 2 ]10A( x x 2) dx [ 2x21 033 3A y 旋 所 生的旋 体的体 ：1y 2y 5 124V( y )ydy25五、 明 （本7 分）明：F ( x)f ( x) x ，310然 F ( x) 在 [1,1] 上 ，在 ( 1,1) 内可 ，22且F ( 1)1 0 ， F (1) 1 0 .22由零点定理知存在x 1 [ 1,1] ，使 F ( x 1 ) 0 .2由 F (0)0 ，在 [ 0, x 1 ] 上 用 定理知，至少存在一点(0, x 1 ) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 ⋯。