量子力学复习提纲一、简答题1、什么是黑体？答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2、简述光的波粒二象性。
答：吸收、发射以微粒形式，传播 c 。
描述波动性的力学量λν,与描述粒子的力学量p E ,之间的联系为νh E =，λhp =。
3、试简述Bohr 的量子理论。
答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处于稳定状态，简称定态。
（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射频率满足：νh E E n m =- 。
（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是h 的整数倍。
4、简述德布罗意假设。
答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。
νh E =，λhp =。
5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?答：由基本假设ph =λ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6、波函数模的平方()2,t r ψ的物理意义是什么？答：()2,t r ψ表示在t 时刻r 点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。
7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。
答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。
8、简述态叠加原理。
答：若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态，则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。
这一结论称为态叠加原理。
9．何谓定态？答：能量具有确定值的状态称为定态。
它用定态波函数()()iEte r t r -=ψψ,描写。
10、简述定态的特性。
答：定态的特性有：①能量具有确定值。
②几率密度及几率流密度不随t 变化。
③任何力学量（不含t ）的平均值不随t 变化。
④任何力学量（不含t ）取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。
11、简要解释一维线性谐振子的零点能。
答：一维线性谐振子的零点能为ω 210=E ，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。
12、一维定态解包括几个量子数？量子数数目取决于什么？答：一维定态解只是有一个能量量子数。
一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完全集中所包含的力学量数目。
13、量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？答：量子力学的定态解在量子数∞→n 时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。
14、什么是束缚态？它有何特性？答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。
束缚态的能级是离散的。
15、是否当入射粒子由低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？答：无论粒子由低势能区射向高势能区，或由高势能区射向低势能区，都会发生反射。
16、何谓势垒贯穿？ 答：微观粒子在能量E 小于势垒高度U 0时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。
17、为什么表示力学量的算符必须要求是线性厄米算符？答：表示力学量的算符必须是线性算符。
这是由态叠加原理所要求的。
真实力学量的任何测量值当然必须是实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表达。
18、什么是算符的本征值方程、本征值和本征函数？答：含有算符F ˆ的方程nn n F ϕλϕ=ˆ称为算符F ˆ的本征值方程，而n λ则称为算符F ˆ的本征值，函数n ϕ则称为属于本征值n λ的本征函数。
19、厄米算符有那些特性？ 答：厄米算符有如下性质：（1）厄米算符的本征值是实数；（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交； （4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。
20、简述算符与力学量的关系。
答：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。
当体系处于算符Fˆ的本征态n ϕ时，测量力学量F 的数值是确定的，恒等于n λ；当体系处于波函数∑=nn n C ϕψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必定是算符F ˆ的本征值之一，测得n λ的概率是2nC 。
21、试述力学量完全集的概念。
答：能够完全描述体系状态的、彼此相互对易的一组力学量称为力学量完全集。
它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组（ ,,21n n ）所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。
22、试给出不确定关系（测不准关系）的数学表达式。
答：若ik G F =]ˆ,ˆ[，则：4)ˆ()ˆ(222k G F ≥∆⋅∆，称为不确定关系（测不准关系）。
23、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。
答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。
具体说，如果力学量A 的本征函数为n ϕϕϕ ,,21，相应本征值为n A A A ,,21。
任意态矢ψ可展开为∑=nn n a ψψ态矢ψ在A 表象的表示为展开系数{}n a 组成的一列矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a 21ψ其意义是：在ψ态中，力学量A 取值n A 的几率为2n a ，与坐标表象波函数的意义相类似。
力学量用厄密矩阵表示⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A AA A A A 212222111211 ),(j i ij A A ϕϕ= 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。
用矩阵表示力学量，理由如下：（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。
设)()(x A x ψϕ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 21 简记为Aa b =；（2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。
24、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A A A A00000021本征矢为单一元素列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011ϕ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102 ϕ ………25、狄拉克符号中，引入了右矢>，为什么又引入左矢<，右矢和左矢能够相加吗？答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数ϕ和ψ的内积⎰=τψϕψϕd *),(，>ϕ|和>ψ|的内积记为><ψϕ|，|ϕ<是对应于>ϕ|的左矢，属于伴随空间的一个矢量。
由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。
26．简述定态微扰论的基本思想。
答：量子力学体系的哈密顿算符∧H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。
除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。
求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧时，若可以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分∧∧∧'+=H HH )0( ||||)0(∧∧'>>H H，其中 )0()0()0()0(n n n E Hψψ=∧，即∧)0(H的本征值)0(n E 和本征函数)0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。
满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。
将能级和波函数以λ的幂级数展开⎩⎨⎧+++=+++=)2(2)1()0()2(2)1()0(n n n n n n n n E E E E ψλλψψψλλ )0(nE与)0(nψ称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧)0(H的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。
27．非简并定态微扰论的适用条件是什么？答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)0()0(m n mnE E H -<<'，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)0()0(m nE E -较大。
28．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级情况可用非简并态微扰处理？答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。
对于f 度简并能级,)0(k E 如选择的f 个独立的)0(αψk 已使H '对角化，即αβαββαδψψH H k k '>='<)0()0(||，此时αααH E k '=)1(，对应的零级近似波函数为)0(αψk ，虽然能级)0(k E 是简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。
29、研究微观粒子间的碰撞现象有什么意义？答：微观粒子（单一的及复合的）间的碰撞实验是量子物理中最重要的实验技术，是研究物质结构、深刻认识微观过程的重要手段。
历史上，由于α粒子散射实验，建立了原子的有核模型。
电子与原子的碰撞实验（夫兰克-赫兹实验）证实了原子中定态能级的存在。
原子核及基本粒子的许多重要性质都是经过各种碰撞实验得出的，并且碰撞实验也是产生基本粒子的主要方法。
量子碰撞理论是量子物理中一个非常重要的分支。
30、一维势垒贯穿中，是否存在散射截面的概念？答：一维势垒问题中，只有两个方向，所以，不存在散射截面的概念，与之相当的概念为反射系数。
31．自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。
（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。
此外，二者的旋磁比不同。
32．量子力学中，角动量是如何定义的？答：量子力学中，角动量是按下式定义Jˆ×J ˆ=i J ˆ 任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量。
此定义较之角动量的仿佛经典定义Lˆ=r ˆ×p ˆ更具普遍性。
后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。
33．电子z S 的本征态常被写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10β；它们的含义是什么？ 答：z S 的本征态是自旋波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a χ的特例。
由于在z S 的本征态中，本征值仅有2±与量子数21±=s m 对应，分别记为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01)(21αχz s ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10)(21βχz s ；βα,是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正交完备基矢，以此为基矢的表象为z S 表象。