高考数学函数压轴题：1. 已知函数 f (x) 1x 3 ax b(a,b3(1) 求 f (x) 的单调递增区间；2. 某造船公司年最高造船量是 20艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x 2– 10x 3(单位：万元), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 ( 单位：万元 ). 又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf (x) 定义为 : Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求 : (提示：利 润 = 产值 –成本)(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);(2) 年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大(3) 边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么213. 已知函数 (x) 5x 2 5x 1(x R)，函数 y f (x)的图象与 ( x)的图象关于点 (0, )中心对称。

2( 1)求函数 y f(x) 的解析式；(2)如果 g 1(x) f(x)，g n (x) f[g n 1(x)](n N,n 2) ，试求出使 g 2(x) 0成 立的 x 取值范围；( 3)是否存在区间 E ，使 E x f(x) 0 对于区间内的任意实数 x ，只要 n N ，且 n 2 时，都有(2)若 x [ 4,3] 时，有 f (x)10恒成立，求实数3m 的取值范围R) 在 x 2 处取得的极小值是g n(x) 0 恒成立x 1 a4．已知函数：f (x) (a R且x a) axⅠ)证明：f(x)+2+f(2a －x)=0 对定义域内的所有x 都成立.1Ⅱ)当f(x) 的定义域为［a+ ,a+1］时，求证：f(x) 的值域为［－3，－2］；2Ⅲ)设函数g(x)=x 2+|(x－a)f(x)| , 求g(x) 的最小值.5. 设f (x)是定义在［0,1］上的函数，若存在x* (0,1) ，使得f (x)在［0, x*］上单调递增，在［ x* ,1］上单调递减，则称f(x)为［ 0,1］上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的［ 0,1］上的单峰函数f(x) ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(1) 证明：对任意的x1,x2 (0,1) ，x1 x2，若f(x1) f(x2)，则(0, x2)为含峰区间；若f(x1) f(x2)，则( x1,1) 为含峰区间；(2)对给定的r(0 r 0.5) ，证明：存在x1,x2 (0,1) ，满足x2 x1 2r ，使得由( 1)所确定的含峰区间的长度不大于0.5 r ；6. 设关于x的方程2x2 ax 2 0的两根分别为、，函数f(x) 4x2ax1(1)证明f (x) 在区间, 上是增函数；( 2)当a 为何值时，f (x) 在区间, 上的最大值与最小值之差最小7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f x x 8，g x x 12 ，及任意的x 0，当甲公司投入x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：(1)请解释f 0 ,g 0 ；甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入a1 12万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2 ；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2 , , 如此得当甲调整宣传费为a n 时，乙调整宣传费为b n ；试问是否存在lim a n，lim b n的值，若存在写出此极限值(不必证明) ，若不存在，说明理由.nn n8. 设 f （x）是定义域在[ 1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（l）求证f（x）在[ 1, 1]上是减函数；（ll ）如果f （x c），f （x c2）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；2（lll ）证明若1 c 2，则f（x c），f（x c2）存在公共的定义域，并求这个公共的空义域9. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。

（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x 2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x02＋1）成立，求c的值。

43210. 已知函数f (x) x4 4x3 ax2 1在区间[0 ，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；(1)求 a 的值；( 2)求证：x=1 是该函数的一条对称轴；2( 3)是否存在实数b，使函数g(x) bx2 1的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由.11. 定义在区间( 0， )上的函f(x)满足：(1) f(x)不恒为零； (2)对任何实数x、q,都有f (x q) qf(x).( 1)求证：方程f(x)=0 有且只有一个实根；(2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证：f(a)?f(c) f 2(b)；(3)(本小题只理科做)若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有f(m) f(n) 2f(m n) ，求证：3 m 2 2 23212. 已知三次函数f(x) x3 ax2 bx c在y轴上的截距是2，且在( , 1),(2, )上单调递增，在(－1，2)上单调递减.(Ⅰ)求函数 f (x)的解析式；f (x)(m 1) ln( x m)，求h(x) 的单调区间(Ⅱ) 若函数h(x)3(x 2)13. 已知函数f(x) 3x 3(a 1)( a 0且 a 1)．ax(1) 试就实数 a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；(2) 已知当x 0 时，函数在(0, 6) 上单调递减，在( 6, )上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式；(3) (理)记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C 的对称轴若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．(文) 记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问曲线C是否为中心对称图形若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．14. 已知函数f (x) log a x和g(x) 2log a(2x t 2),(a 0,a 1,t R) 的图象在x 2处的切线互相平行(Ⅰ) 求t的值；Ⅱ)设F(x) g(x) f(x)，当x 1,4 时，F(x) 2恒成立，求a的取值范围15. 设函数f (x) 定义在R 上，对任意的m,n R ，恒有f(m n) f (m) f (n) ，且当x 1时，f (x) 0 。

试解决以下问题：(1)求f (1)的值，并判断f(x) 的单调性；(2)设集合A (x,y)|f(x y) f(x y) 0 ,B (x,y)|f(ax y 2) 0,a R ，若AI B ，求实数a的取值范围；(3)若0 a b，满足|f(a)| |f(b)| 2|f(a b) |，求证：3 b 2 22216. (理科)二次函数f(x)= x2 ax b(a、b R)( I)若方程f(x)=0 无实数根，求证：b>0；12(II)若方程f(x)=0 有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)= (a2 1) ；41( III )若方程f(x)=0 有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得f (k) .4 2* (文科)已知函数f(x)= ax2 bx c，其中a N* ,b N,c Z.(I)若b>2a,且f(sinx)(x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x) 的最小值；(II)若对任意实数x，不等式4x f (x) 2(x2 1)恒成立,且存在x0使得f(x0) 2(x20 1)成立，求c的值。

17. 定义在( -1，1)上的函数f(x) 满足：对任意x、y (-1,1)都有 ( I)求证：函数f(x) 是奇函数；(II)如果当时，有f(x)>0 ，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；( III )设-1<a<1，解不等式：218. 已知二次函数f(x) ax2 bx 1(a 0,b R), 设方程f(x) ＝x有两个实数根x1、x2.(Ⅰ)如果x1 2 x2 4，设函数f(x) 的对称轴为x＝x0,求证x0>—1;(Ⅱ)如果0 x1 2，且f(x) ＝x的两实根相差为2，求实数 b 的取值范围.19. 函数f (x) 的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x R，有f (x) 0 ；y1②对任意x、y R，有f(xy) [f(x)]y；③ f( ) 1. 则3(1)求f (0)的值；(4 分)(2)求证： f (x) 在R 上是单调增函 5 分)3)若a b c 0,且b2 ac ，求证：f (a) f (c) 2f(b).220. (理)已知f(x)= In(1+ x2)+ ax(a≤0)( 1)讨论f(x) 的单调性；1 1 1 *(2)证明：(1+ 4)(1+ 4) (1+ 4)< e(n∈N *), n ≥2其中无理数e= 2.71828 ).2 3 n13 2o, - a. (文)设函数f(x) ax3 bx2 cx(a b c) ，其图象在点A(1, f (1)), B( m, f (m))处的切线的斜率分别为3( 1)求证：0≤b< 1；a(2)若函数 f (x) 的递增区间为[s,t]，求[s-t]的取值范围.1 32 221.设函数f (x) x3 2ax2 3a2 x b(0 a 1)3(1)求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x) 的极大值和极小值；(2)当x∈[a+1, a+2]时，不等| f (x)| a ，求a的取值范围22. 已知函数f (x) x 16 7x，函数g(x) 6ln x m . x1(1)当x 1时，求函数f(x) 的最小值；( 2)设函数h(x)=(1 －x)f(x)+16 ，试根据m 的取值分析函数h(x) 的图象与函数g(x)的图象交点的个数23. 已知二次函数f（x） ax2 bx c,直线l1 : y t2 8t （其中0 t 2.t为常数）；l2 :x 2.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y 轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示（Ⅰ）求a、b、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t 的函数S（t）的解析式；Ⅲ)若g(x) 6ln x m, 问是否存在实数m，使得y=f （x ）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由24. 已知f (x) x(x a)(x b)，点A(s,f(s)), B(t,f(t))(I) 若a b 1,求函数f (x) 的单调递增区间；3(II)若函数f(x)的导函数f (x)满足：当|x|≤1时，有| f (x)|≤恒成立，求函数f (x)的解析表达式；2 (III) 若0<a<b, 函数f(x) 在x s和x t 处取得极值，且a b 2 3,证明：OA与OB 不可能垂直.225. 已知函数 f (x) m x m R .x11(1)设g(x) f(x) lnx,当m≥时,求g(x)在［1 ,2 ］上的最大值；42(2)若y log1［8 f (x)］在［1, )上是单调减函数，求实数m的取值范围326. (本小题满分12 分)已知常数 a > 0, n为正整数， f n ( x ) = x n–( x + a)n( x > 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数 f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ? a , 证明 f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n)1) 由 xf (x) 0 x x 0或 x 1答案：21.解： (1) f (x) x 2 a ，由题意令f (x) x 2 4 0得f (x)的单调递增区间为 ( , 2)和(2, ).(2) f(x) x1x 3 4x 4 ，当 x 变化时， 3f (x)与 f(x) 的变化情况如下表：(2,3)3- 4(-4，-2)-2(-2,2)2f (x)Z]Z4单 28 单调递单调1f (x)3调递增3减4 递增3m ( , 3] [2, ). 所以 x [ 4,3]时， f ( x)max 3 f (x) 10在x3 2 [ 4,3] 上恒成立等价于 m 2 10 28 m 33求得2.解： (1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x 3 + 45x 2 + 3240x – 5000 (x?N 且x?[1, 20]); 2分 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x 2 + 60x +3275 (x?N 且 x?[1, 20]). 4分 (2) P`(x) = – 30x 2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x?N 且 x?[1, 20]) 7分 当 1< x < 12 时, P`(x) > 0, P(x) 单调递增 , 当 12 <x < 20 时 , P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减 .∴ x = 12 时, P(x)取最大值 , 10分 即, 年建造 12艘船时, 公司造船的年利润最大 . 11分 (3) 由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (x?N 且 x?[1, 20]). ∴当 1< x ? 20 时， MP (x) 单调递减 . 12 分 MP (x)是减函数说明 : 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少 .1 2 3.解：(1) f(x) 5x 5x 6 分)2 2)由 g 2(x) 5g 1(x) 5g 12(x) 0 解得 g 1(x) 0或g 1(x) 1 即 5x 5x 2 0或5x 5x 2 155解得 x 0或x 1或 5 51055 x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 12 分)f (2) 4 a 08 f (2) 2a b3a4 b4g (a 1) (a1)2⋯ 13 分5 5 5 5又(5105,5105)0或x5 5 5 5 当 x ( 5 5 , 55) 时， 10 10g 2(x) 20，g 3(x) 5g 2(x) 5g 2 (x) ∴对于 n5 2,3 时， E ( 55 以下用数学归纳法证明 10 10 5)，命题成立。