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湖北省宜昌市2020-2021学年夷陵中学高二年级第一学期12月4日周五检测数学试卷

2020年夷陵中学高二年级周五检测数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共40分)1.已知θ为直线y=3x−5的倾斜角,若A(cosθ,sinθ),B(2cosθ+sinθ,5cosθ−sinθ),则直线AB的斜率为()A. 3B. −4C. 13D. −142.“k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.设椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√34.已知直线l1:(3+m)x+4y=5−3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为()A. −7B. −1C. −7或−1D. 1335.唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从A(2,0)出发,河岸线所在直线方程x+y−4=0,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为()A. √10B. 2√5−1C. 2√5D. √10−16. 如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),斜率为−1的直线与椭圆C相交于A,B两点,平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的斜率为13,则椭圆的离心率为()A. √33B. √63C. √32D. 237.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q、P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P(−12,0)且λ=2,若点B(1,1),则2|MP|+|MB|的最小值为()A. √6B. √7C. √10D. √118.已知F1为椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点,直线l过椭圆的中心且与椭圆交于A,B两点.若以AB为直径的圆过F1,且π12≤∠F1AB≤π4,则椭圆C的离心率的取值范围是()A. [√22,√63] B. [√22,1) C. (0,23] D. [12,23]二、多选题(本大题共4小题,共20分)9.已知双曲线C:x23−y2m=1过点(3,√2),则下列结论正确的是()A、C的焦距为4B、C的离心率为√3C、C的渐近线方程为y=±√33x D、直线2x−√3y−1=0与C有两个交点10. 已知圆O:x2+y2=4,直线l:x+y=m,若圆O上恰有n个的点到直线l的距离为1,则下列结论正确的有()A、n=1时,m=3√2 ;B、n=2时,√2<m<3√2或−3√2<m<−√2;C、n=3时,m=√2或m=−√2;D、n=4时,−√2<m<√2;11.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(−1,√32),P4(1,√32)中恰有三点在椭圆C上,F1 、F2为左右焦点.则()A、点P1在椭圆C上,B、椭圆C的离心率e=√32,C、以F1P4为直径的圆与以椭圆C长轴为直径的圆内切,D、M、N为椭圆上关于原点对称的两点,则直线P2M、P2N斜率之积为定值14;12、瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线。

已知ΔABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是()A、(2,0)B、(0,2)C、(0,-2)D、(-2,0)二、填空题(本大题共4小题,共20分)13.已知直线l :ax +y +2−a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值为________.14.如果圆(x −a)2+(y −1)2=1上总存在两个点到原点的距离为2,则实数a 的取值范围是______.15.已知方程mx 2+(m −4)y 2=2m +2表示焦点在x 轴上的双曲线,该双曲线与椭圆x 28+y 22=1有共同的焦点,求该双曲线的渐近线方程为________________;16. F 1,F 2是椭圆C 1和双曲线C 2的公共焦点,e 1,e 2分别为曲线C 1,C 2的离心率,P 为曲线C 1,C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,且e 2∈[√3,2],则e 1的取值范围______.三、 解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知圆E 经过点A(0,0),B(1,1),从下列3个条件选取一个_______① 过点C(2,0).②圆E 恒被直线mx −y −m =0(mϵR )平分,③与y 轴相切, (1)求圆E 的方程;(2)过点P(3,0)的直线L 与圆E 相交于A 、B 两点,求AB 中点M 的轨迹方程。

18.已知双曲线的渐近线方程为y =±43x ,并且焦点都在圆x 2+y 2=100上,求双曲线方程.19.设中心在坐标原点的椭圆E 与双曲线2x 2−2y 2=1有公共焦点,且它们的离心率互为倒数.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点A(2,0)的直线l 交椭圆E 于P ,Q 两点,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l 的方程.20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√32,且经过点E (√3,12),直线l 过点M (1,0),交椭圆C 于A ,B 两点,设S △AOB =λS △AOD (λ∈R). (1)求椭圆C 的方程; (2)求λ的取值范围.21.已知双曲线C的中心的坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=√52,虚轴长为2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与曲线C相交于A、B两点(A,B均异于左、右顶点),且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,求证:直线l过定点.22.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为√6.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.2020年夷陵中学高二年级周五检测数学试卷一、 选择题(本大题共8小题,共40分)DACA BBCA二、 多选题(本大题共4小题,共20分)9.AC 10.BCD 11.BC 12.AC 三、 填空题(本大题共4小题,共20分)13.1或2 14. (−2√2,0)∪(0,2√2) 15. y =±x ,或y =±√55x 16. [√33,2√1313] 四、 解答题(本大题共6小题,共70分)17.解:(1)选①设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,(D 2+E 2−4F >0), 由题意可得{F =02+D +E +F =04+2D +F =0,解得{D =2E =0F =0,则圆E 的方程为x 2+y 2−2x =0即(x −1)2+y 2=1; 选②,选③均得:圆E 的方程为(x −1)2+y 2=1;(2)由EM ⊥AB 知:点M 的轨迹为以EP 为直径的圆落在圆E 内的一段圆弧,其方程为(x −2)2+y 2=1(x <32) 18.解:当焦点在x 轴上时,设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0). 由渐近线方程y =±43x 得ba =43.①又焦点在圆x 2+y 2=100上,知c =10,即a 2+b 2=100.② 由①②解得a =6,b =8.∴所求双曲线方程为x 236−y 264=1. 当焦点在y 轴上时,设双曲线方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0),则{a 2+b 2=100a b =43,即{a =8b =6, ∴所求双曲线方程为y 264−x 236=1.综上,所求双曲线方程为x 236−y 264=1,或y 264−x 236=1.19. 解:(1)由题意得,椭圆E 的焦点为(±1,0),离心率为√22,椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.(2) 设点P ,Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),因为AP →=12PQ →,则{x 2=3x 1−4y 2=3y 1,(x 1,y 1),(x 2,y 2)满足椭圆方程,即{x 122+y 12=1(3x 1−4)22+(3y 1)2=1,解得{x 1=43|y 1|=13、{x 2=0|y 2|=1且y 1y 2>0, 直线l 的方程为x ±2y =0. 20.解:(1)椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32,且经过点E(√3,12),可得:{ ca =√32a 2=b 2+c 23a2+14b2=1,解得a =2,b =1,c =√3,可得椭圆方程为x 24+y 2=1;(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∵S △AOB =λS △AOD, ∴12|y 1−y 2|=λ|y 1|,∴λ=12|y 1−y 2||y 1|=12|1−y 2y 1|,设直线AB 的方程为x =my +1与椭圆方程联立可得(m 2+4)x 2+2my −3=0, 则y 1+y 2=−2m m 2+4,y 1y 2=−3m 2+4,令y 2y 1=t(t <0),∴t +1t +2=y 2y 1+y 1y 2+2=(y 1+y 2)2y 1y 2=−4m 23(m +4)>−43, ∴t +1t>−103(t <0),∴3t 2+10t +3<0,∴−3<t <−13,∴λ=12|1−t|∈(23,2).21.解:(1)由题设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0), 由已知得:ca=√52,2b =2,又a 2+b 2=c 2,解得a =2,b =1,∴双曲线的标准方程为x 24−y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{y =kx +mx 24−y 2=1,得(1−4k 2)x 2−8mkx −4(m 2+1)=0, 有{1−4k 2>0△=64m 2k 2+16(1−4k 2)(1+m 2)>0x 1+x 2=8mk 1−4k 2>0x 1x 2=−4(1+m 2)1−4k 2<0,y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=m 2−4k 21−4k 2,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D(−2,0), ∴k AD k BD =−1,即y 1x1+2⋅y 2x2+2=−1,∴y 1y 2+x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=0,∴m 2−4k 21−4k 2+−4(m 2+1)1−4k 2+16mk 1−4k 2+4=0,∴3m 2−16mk +20k 2=0解得m =2k 或m =10k 3.当m =2k 时,l 的方程为y =k(x +2),直线过定点(−2,0),过双曲线的左顶点,与已知矛盾; 当m =10k 3时,l 的方程为y =k(x +103),直线过定点(−103,0),经检验符合已知条件.故直线l 过定点,定点坐标为(−103,0).22.解:(1)由题设知ca =3,即a 2+b 2a 2=9,故b 2=8a 2,所以C 的方程为8x 2−y 2=8a 2,将y =2代入上式,并求得x =±√a 2+12,由题设知,2 √a 2+12=√6,解得a 2=1,所以a =1,b =2√2;(2)由(1)知,F 1(−3,0),F 2(3,0), C 的方程为8x 2−y 2=8,①由题意可设l 的方程为y =k(x −3),|k|<2√2,代入①并化简得 (k 2−8)x 2−6k 2x +9k 2+8=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤−1,x 2≥1,x 1+x 2=6k 2k 2−8,x 1·x 2=9k 2+8k 2−8,于是|AF 1|=√(x 1+3)2+y 12=√(x 1+3)2+8x 12−8=−(3x 1+1), |BF 1|=√(x 2+3)2+y 22=√(x 2+3)2+8x 22−8=3x 2+1,由|AF 1|=|BF 1|,得−(3x 1+1)=3x 2+1,即x 1+x 2=−23, 故6k 2k −8=−23,解得k 2=45,从而x 1·x 2=−199, 由于|AF 2|=√(x 1−3)2+y 12=√(x 1−3)2+8x 12−8=1−3x 1,|BF 2|=√(x 2−3)2+y 22=√(x 2−3)2+8x 22−8=3x 2−1,故|AB|=|AF 2|−|BF 2|=2−3(x 1+x 2)=4,|AF 2|·|BF 2|=3(x 1+x 2)−9x 1x 2−1=16,因而|AF 2|·|BF 2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.。

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