二面角——1定义法
二面角
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为θ，则侧面三角形
射影三角形S S =
θcos ，多用于求无棱二面角）求出二面角的
大小。
求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：
定义法：
利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性
1.如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2
，求：二面角A －BD －C 、B －AC －D 的大小
A
B
D
解析：(1)取BD 的中点O ，连AO 、OC
在ΔABD 中，∵AB ＝AD
＝
BD ＝2，
∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，
同理OC ⊥BD
∴∠AOC 是二面角A －BD －C 的平面角。
又AO ＝OC ＝1，AC
∴∠AOC ＝90°
即二面角A －BD －C 为直二面角。
(2)取AC 的中点E ，连BE 、DE
∵AB ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ， ∴∠BED 就是二面角的平面角 在ΔBDE 中，BE ＝DE
＝2
由余弦定理，得1cos 3
α=-
2.在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求二面角B －PC －D 的大小。
A
B
C
D
O
E P
B
A
D
解：
===PA AB PA AD PB PD AB AD a ⊥⎫
⎪
⊥⇒⎬⎪⎭
，
PB PD BC DC PBD
PDC PC PC =⎫
⎪
=⇒∆≅∆⎬⎪
=⎭
过B 作BH ⊥PC 于H ，连结DH 使DH ⊥PC ，
故∠BHD 为二面角B －PC －D 的平面角。
因PB ,BC ＝a ,PC ,
12PB·BC ＝S PBC ∆＝12
PC·BH ，则BH DH
又BD ，在△BHD 中由余弦定理，得：
cos ∠BHD ＝
)
22
2
222
1
22
BH DH BD BH BD ⎫⎫
+-⎪⎪+-==-g
又0＜∠BHD ＜π，则∠BHD ＝23π，二面角B －PC －D 的大小是23
π。
3.三棱锥A －BCD 中，∠BAC ＝∠BCD ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝AC ＝6，AD ＝4，求二面角A －BC －D 的度数。
P
B A
C
D
H
B
解：由已知条件∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， 设BC 的中点设为O ，则OA ＝OC ＝3
BC ＝32
23
3
3230tan BC DC 0=⨯
== ∴θ⋅-++=cos CD AO 2CD OC AO AD 2222 解之得：
2
1
cos -=θ
∴ο150=θ
4.如图AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC ＝CD ＝1，∠ABC ＝30°，求二面角D AB C --的大小。
解：3
3
cos =
θ 即所求角的大小为3
3arccos 。
（此题也可用垂线法）
B
练习：
1.已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，
⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。
方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.
因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.
又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.
连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .5
10
cos ==
∠∴PB BE PBE .5
10
arccos
所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,
∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM
⋅-2
2
)2
(
，
5
62
5223
=⨯=∴AN . ∴AB=2，
3
2
2cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB
故所求的二面角为).3
2arccos(-
方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，
如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2
1.
（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD.
又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB
AC PB AC PB AC PB AC 所以故
（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=
..2
1
,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC
要使.5
4
,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN
),5
2
,1,51(),52,1,51(,.
0),5
2
,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ
ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所
求二面角的平面角.
).
3
2
arccos(.
32
),cos(.5
4,530||,530||--==
∴-=⋅==
故所求的二面角为BN AN Θ。