概率统计B
一、填空题（每空2分,共２０分)
1． 0．28, 0.1２ 2.)2,0(N ，)1(2
χ3.μ，2σ 4.0．5 5.５，1.9 ６.2σ 二、单项选择题(每题2分,共１０分）1．C 2. Ａ 3.B 4.Ｂ ５. Ｄ
三、简答题（共70分)
1.一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,每个车间的产量分别占总产量的25%、35%、40％，如果每个车间成品中的次品率分别为5％、4％、２%。
(1）从全厂产品中任意抽出一个螺钉,试问它是次品的概率是多少？
（2)从全厂产品中如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？
解. 设321,,A A A 分布表示甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，=B “从全厂产品中任意抽出一个螺钉是次品,则321,,A A A 构成一个完备事件组,则由全概率公式 0345
.002.04.004.035.005.025.0)
|()()|()()|()()(332211=⨯+⨯+⨯=++=A C P A P A C P A P A C P A P B P ,……５’ 0362.00345
.000125.0)()|()()()()|(1111====B P A B P A P B P B A P B A P ，……1０’ 2．已知随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=otherwise
x C x f ,010,)(,（1）求常数C 的值;（2)设13+=X Y ,求Y 的密度函数。
解． （１)由规范性
1d d )(10===⎰⎰+∞∞-C x C x x f ，则1=C 。
………5’ （2）由13+=x y ,当10<<x 得41<<y ,则3
1)31)(31()(='--=y y f y f X Y 。
……8’ 所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=otherwise
y y f Y ,041,31)(………1０’.
3.
若)2,10(~2N X ,求)1310(<<X P ，
)13(>X P ,)3|10(|<-X P (9332.0)5.1(=Φ）
解. )10()13()1310(F F X P -=<<
4332.05.09332.05.0)5.1()2
1010()21013(=-=-Φ=-Φ--Φ=……………………3’
0668.09332.01)5.1(1)13(1)13(=-=Φ-=≤-=>X P X P ,……３’ 8664.01)5.1(2)5.1()5.1()5.1|2
10(|
)3|10(|=-Φ=-Φ-Φ=<-=<-X P X P ……4’． 4.设),(Y X 联合分布如下表,
求XY Y X Cov DY DX EY EX ρ),,(,,,,
解． 4/3=EX , 4/32=EX ，由对称性 4/3=EY ，
4/32=EY ……4’ 163)(22=
-=EX EX DX ,16
3==DX DY ………６’ 1631694311)(),(=-⨯⨯=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ……８’ 116
/316/3)
,(==⋅=DY DX Y X Cov XY ρ……10’. 5.一个螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是１两,标准差(方差算术平方根）是0.1两. 求一盒(1０0个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率(9773.0)2(=Φ） 解. 设∑==1001i i X
X ，i X 表示第i 螺丝钉的重量,则100=EX 两，
101.0100=⨯=DX ……………5’
则
0227.0)2(1)21
100(
1)102(1)102(=Φ-=≤--=≤-=>X P X P X P ………10’ 6.已知总体X 的概率密度)1(,010,1)(),(->⎩⎨⎧<<+=θθθθotherwise
x x x f ,n x x x ,,,21 为样
本观测值,求θ的最大似然估计。
解. )ln()1ln()()1ln(),(ln ln 21211n n n i n i x x x n x x x x f L θθθθθ++=+=∏==…………5’
令 0)ln(1
)(ln 21=++='n x x x n L θθ……………….8’ 则 )ln(1ˆ21n x x x n --=θ
………….１0’ 7. 设某次参加概率统计课程考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为5.66分,标准差为１5,问在显著性水平05.0下,是否可以认为这次考试平均成绩为７0？(030.2)35(025.0=t )
解.设70:00==μμH ,70:01==/μμH ………2’ 统计量)1(~0--=n t n
S
X T μ……．7’ 030.2)35(4.136|15
705.66|
||025.0=<=-=t t ……..９’ 接受0H ，可以认为这次考试平均成绩为70…………..10’。