• 现在由描述这个系统的微分方程组来设计一个统一混沌电路。为确保系统输出电压在 运放、乘法器的电源提供电压范围内，变换变量成U1＝x/10，U2＝y/10，U3＝z/10。 则有此时系统方程为：
.
U1 25a 10U 2 U 1
.
U
2
100
28 100
U
1
1 100
U
2
U 1U 10
3
35a 100
混沌图像加密
——混沌系统类型与加密算法
各种类型的混沌系统
1.典型蔡氏混沌电路
2. 采用里奥登电感的蔡氏电路
本变形主要是改变Chua氏电路的电感部分，使用模拟电感代替原有 的电感。
完整电路：
• 里奥登电感实现电路
混沌图像：
3.文氏桥蔡氏氏电路
采用RC文氏桥进行驱动，去除原CHUA氏电路的电感部分
RSA加密算法
•
RSA加密算法是最常用的非对称加密算法，CFCA在证书服务中离不了它。但是有
不少新来的同事对它不太了解，恰好看到一本书中作者用实例对它进行了简化而生动
的描述，使得高深的数学理论能够被容易地理解。我们经过整理和改写特别推荐给大
家阅读，希望能够对时间紧张但是又想了解它的同事有所帮助。
2）当α 由0 逐渐增加到1 时，系统（1）也有Lorenz 系统经Lü 系统逐渐过渡到Chen 系 统；
3）当α ∈[0,0.8)时，系统（1）属于广义Lorenz 系统；α ∈(0.8,1]时，系统（1）属于 广义Chen 系统；当α = 0.8时，系统（1）属于Lü 系统。三种系统具有不同的拓扑结构。
U 1 R4 U R1源自 2 .U2
1 R21C 2
R18 R14
1
R9 R6
R8 R7
1
R8
R7
U 1
R9 U R6
2
1
R18 R14
R17 R16 R17
U 1U 3 10
1
R18 R14
R17 R15 R17
R20 R19
1
R13 R10
1
R12 R11 R12 R11
.
U
2
100
28 100
U1
U 1U 10
3
U2 100
.
U
3
100
U 1U 10
2
8 300
U
3
现在对上式构建电路。采用运放加减法、 积分电路，反相器，乘法器。
• 连接各项电路，即各项电路的输入端U1、U2、U3分别与积分电路输出端的U1、U2、
U3相连，则构成系统电路。此时，系统方程如下，并得出电路图
•
RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。
RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，
这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA
的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥
B间传送的明文信息。
混沌系统在图片加密的应用
• 混沌置换 • 产生混沌序列，具有良好的伪随机性质，
• 文氏桥蔡氏氏电路的混沌图像：
4.洛仑兹混沌电路
对于一个洛仑兹混沌电路，可以将其写成：
.
X 10( y x)
.
Y 28x xz y
.
Z
xy
8
z
3
为确保系统输出电压在运放、乘法器的
电源提供电压范围内，将上式变量变换
成U1＝x/10，U2＝y/10，U3＝z/10。
则有：
.
U 1 10U 2 U 1
分析。它是参数可变的分组密码算法，三个可变的参数是：分组大小、密钥大小和加密轮数。在此
算法中使用了三种运算：异或、加和循环。 RC5是种比较新的算法，Rivest设计了RC5的一种 特殊的实现方式，因此RC5算法有一个面向字的结构：RC5-w/r/b，这里w是字长其值可以是16、 32或64对于不同的字长明文和密文块的分组长度为2w位，r是加密轮数，b是密钥字节长度。由于 RC5一个分组长度可变的密码算法，为了便于说明在本文中主要是针对64位的分组w=32进行处理 的，下面详细说明了RC5加密解密的处理过程：
100
U 1U 10
2
3 100
U
3
• 采用运放基本加减电路、积分器、反相器、乘法器构建电路。连接各项电路，则得系统
电路。
此时，系统方程如下：
.
U1
1 R5C1
R4 R1
U
2
1
R4 R1
R3 R2
1
R3
R2
U 1
.
U
2
1 R12C 2
1
R9 R6
R8 R7
1
R8
R7
U
R3, R5 , R6 , R10 , R14 , R16 , R17 10K, R4 , R11, R15 100K, R1, R2 2.85K,
R8, R12 1K, R7 14.28K, R9 3.57K, R13 33.33K, C1, C2, C3 1F
• Chen氏混沌电路电路图
这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用RSA只能加密少量数据，
大量的数据加密还要靠对称密码算法。
ECC加密算法
• 同RSA一样，ECC（Elliptic Curves Cryptography，椭圆曲线密码编码学） 也属于公开密钥算法 。
• 椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程 y2+a1xy+a3y＝ x3+a2x2+a4x+a6 所确定的平面曲线。若F是一个域，ai ∈F,i=1,2,…,6。满 足式1的数偶(x,y)称为F域上的椭圆曲线E的点。F域可以式有理数域，还可以 式有限域GF(Pr)。椭圆曲线通常用E表示。除了曲线E的所有点外，尚需加上 一个叫做无穷远点的特殊O。
U
3
洛伦兹混沌电路的混沌图像
5. Chen氏混沌电路
• Chen氏混沌系统的无量纲状态方程如下：
x& a( y x),
y&
(c
a)x
xz
cy
z& xy bz
其中参数取值为a=35，b=3，c=28。采用Matlab进行数值仿真，用三阶Runge-Kutta法 求解微分方程。选取初始值x(0)=0.01,y(0)=0.1,z(0)=0.11。步长取0.001。计算机模拟 相图如图所示。
现对该系统写成：
.
X 36( y x)
.
Y xz 20 y
.
Z xy 3z
为确保系统输出电压在运放、乘法器的电源提供电压范围内，变换变量成U1＝x/10， U2＝y/10，U3＝z/10。则有此时系统方程为：
.
U 1 36 U 2 U 1
.
U
2
100
1 5
U
2
U 1U 10
3
.
U
3
算法。
•
RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进
制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数
之积（这是公认的数学难题）。
•
当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数
学难题。比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分
.
U1
1 R5C1
1
R4 R1
R3 R2
1
R3
R2
U
2
R4 R1
U
1
.
U2
1 R13C 2
R9 R8 R9
R10 R7
R10 R6
1U1
R10 R7
U 1U 3 10
R10 R6
U
2
.
U
3
1 R18C 3
R17
R14
U 1U 2 10
1
R17 R14
1
R16 R15 R16 R15
2
R9 R6
U 1U 3
10
.
U3
1 R17C 3
1
R16 R13
R15 R14
1
R15
R14
U 3
R16 R13
U 1U 2
10
Lü混沌电路原理图
Lü混沌电路波形
7.统一混沌电路
由于洛仑兹、Lü以及Chen不论是系统微分式上还是波形上都存在很多类 似的特征，统一混沌系统将三者联系在一起
U
1
29a 100
U
2
.
U
3
100
U 1U 10
2
a8 300
U
3
• 采用运放基本加减电路、积分器、乘法器构建电路，则上式构建的U1、U2、U3项电路 依次如下
连接U1、U2、U3项电路，则得统一混沌的电路原理图。此时系统的微分形式为：
.
U1
1 R5C1
1
R4 R1
R3 R2
1
R3
R2
.
对于一个统一混沌电路，可以将其写成： X 25a 10 y x
.
Y 28 35a x xz 29a 1 y
.
Z
xy
a
8 3
z
其中参数α ∈[0,1]。统一混沌系统实质上是把Lorenz 系统和新近发现的Chen 系统和Lü 系统写成了统一的描述形式，它具有如下特性：