第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值【套路秘籍】一．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【套路修炼】考向一 单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析【解析】（1）由题意得2()63f x x '=-.令2()630f x x '=->，解得2x <-或2x >.当(,2x ∈-∞-时，函数为增函数；当)2x ∈+∞时，函数也为增函数.令2()630f x x '=-<，解得22x -<<.当(22x ∈-时，函数为减函数.故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和)2+∞，单调递减区间为(22-. （2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.1()2f x x x '=-= 令()0f x '>，解得2x >；令()0f x '<，解得02x <<. 故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为()2+∞，单调递减区间为(0,)2. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]． f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x 2＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)． 令f ′(x )＜0，则1－x2x －x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)． 【举一反三】1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞【套路总结】用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0 （2）用导数求函数的单调区间 ①求函数的定义域D ②求导'()f x③解不等式'()f x ＞()<0得解集P④求DP ,得函数的单调递增（减）区间。

一般地，函数()f x 在某个区间可导，'()f x ＞0⇒()f x 在这个区间是增函数 一般地，函数()f x 在某个区间可导，'()f x ＜0⇒()f x 在这个区间是减函数当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接【解析】 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【答案】 (e －1，＋∞)【解析】 由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1， 所以函数f (x )的单调增区间是(e －1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，1e 【解析】 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 考向二 极值【例2】求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．【答案】见解析【解析】函数的定义域为R.f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘由表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.【举一反三】1．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值． 【答案】见解析【解析】函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的定义域 为R ，且f ′(x )＝3x 2－6x －9. 解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，x ＝－1是函数的极大值点，极大值为f (－1)＝10；x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－22.考向三 最值【例3】求下列各函数的最值：(1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈[0,3]．(2)f (x )＝sin 2x －x (x ∈[－π2，π2])．【答案】见解析【解析】(1)因f (x )＝13x 3－4x ＋4，则f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝2时，f (x )＝13x 3－4x ＋4有极小值，并且极小值为f (2)＝－43.又由于f (0)＝4，f (3)＝1，因此，函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.(2)f ′(x )＝2cos 2x －1.令f ′(x )＝2cos 2x －1＝0，解得x 1＝π6，x 2＝－π6.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：由上表可知f (x )的最大值是π2，最小值是－π2.【举一反三】1．求下列函数的最值：(1)f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，x ∈[－3,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]． 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.∵f (－2)＝13，f (23)＝9527，f (－3)＝8，f (1)＝4，∴函数f (x )在区间[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(2)∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)＜0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.考向四 利用导数判断图像【例4】已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x '=的图象可能是【答案】B【解析】由()y f x =的图象及导数的几何意义可知，当0x <时，()0f x '>；当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()0f x '<，故B 符合.【举一反三】3.已知f (x )=14x 2+sin (π2+x),f'(x )为f (x )的导函数,则f'(x )的图象是( )【答案】A【解析】∵f (x )=14x 2+sin (π2+x)=14x 2+cos x ,∴f'(x )=12x-sin x ,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D .又[f'(x )]'=12-cos x ,当-π3<x<π3时,cos x>12,∴[f'(x )]'<0,故函数y=f'(x )在区间(-π3,π3)内单调递减,排除C .故选A .【套路运用】1．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为________．【答案】283【解析】 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283.2.函数y ＝x e x 的最小值是________． 【答案】 －1e【解析】 因为y ＝x e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .当x >－1时，y ′>0；当x <－1时，y ′<0，所以当x ＝－1时，函数取得最小值，且y min ＝－1e.3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．【答案】 12【解析】 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x 且x >0.令f ′(x )>0，得x >1.令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)； ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)； ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)； ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)． 【答案】 ④【解析】 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0 当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值， 在x ＝2处取得极小值．5.函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 。