习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=--，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈-)21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又 ()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=-，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=-.所以222cos ab L b ϕ-=+，0M =，N =， )222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+--. 不妨设0a >. 则)2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，4II adudv-=.(4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=-，)21,,0n g f f ''=-'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=-，)2sin ,cos ,n f v f v u f ''=-'+， 0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=--，)222II 2f dudv uf dv f u ='''-+'+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz ---++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z ---=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z -------=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz --------------=++-++ 由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz ---=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz -------=-⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy ---=-+，再代入上式可得222211222222II x dx x y----+==++ 22222222||xy x = □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为 (,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=-，0t >.n γ=-，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=-⋅=-. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面.证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =-⋅≡=-⋅≡.剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++， 它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=-⋅=-+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()22222,ln(r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )tu a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+-，cosh du dt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =-()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=--，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t -=--.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =-，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =-.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II a adt adv du adv u a=-+=-++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ--=-+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====-=-，2121cosh a t κκ=-=，241cosh K a t=-，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθκ==2sin κθ==. 当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=-+，所以122θθπθ+=-. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=-12κκ=-. (1) 因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ--=-.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ-+=-. 因此κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=-，22()θπϕθ=-+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ-=±. 则同理有212cos κθκκ= (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=-). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''-=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C 是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=-⋅=-⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EG F r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''-=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅. 将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=-+++++ 22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G L M N''''-=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=--，211()(,,1)ax n ax by ++=--.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++， 且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b .4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向. 证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系. 假设这个正交参数系是(,)u v . 如果p 点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系(,)u v 的参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.设p 点不是脐点. 则在点p 处有两个单位正交的主向量12,e e . 设111222,u v u v e a r b r e a r b r =+=+.作参数变换12u a u a v =+，12v b u b v =+.由于1122(,)0(,)a b u v a b u v ∂=≠∂，上述参数变换是可允许的. 在新参数下， 11u v u u v u v u u r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+，22uvv u v u v v v r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+.特别在p 点，有12,u v r e r e ==，是曲面S 在p 点的两个彼此正交的单位主向量.由于1212u v F r r a a E bb G =⋅=+，参数系(,)u v 不一定是正交参数，只知道在p 点120u v F r r e e =⋅=⋅=.因此还要作一次参数变换，取u -曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式Edu Fdv +. 根据常微分方程知识，存在积分因子(,)u v λλ=使得()Edu Fdv λ+是一个全微分，即有函数(,)u u u v =使得()du Edu Fdv λ=+.现在作参数变换(,)u u u v =，v v =. 则0(,)0(,)1E u v u vF λλ∂=≠∂，参数变换是可允许的. 在新参数下，11()du E du Fdv λ--=-，dv dv =，所以211122222I ()1()() Fdv du Fdvdu Gdv du du Fdv FE du Fdv dv Gdv EF duG dv E E λλλλ---=+++=-+-+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭这说明参数系(,)u v 是正交的. 因为在p 点，0F =，有111u v u u v u u u r r r r e E E λλ∂∂∂∂=+==，2u v v u v u v v v F r r r r r e E ∂∂∂∂=+=-+=， 所以,u v r r 是曲面S 在p 点的两个彼此正交的主方向. □5. 设在曲面S 的一个固定点p 的切方向与一个主方向的夹角为θ，该切方向所对应的法曲率记为()n κθ，证明：201()2n d H πκθθπ=⎰，其中12()/2H κκ=+. 证明. 根据Euler 公式，2212()cos sin n κθκθκθ=+. 所以有2222120011()(cos sin )22n d d ππκθθκθκθθππ=+⎰⎰ 212120111[(1cos2)(1cos2)]()222d H πκθκθθκκπ=++-=+=⎰. □ p. 175 习题4.42. 求旋转面():()cos ,()sin ,()S r g s g s f s θθ=的高斯曲率K ，其中s 为平面曲线():(),0,()C r g s f s =的弧长参数.解. ()cos ,sin ,s r g g f θθ'''=，()sin ,cos ,0r g θθθ=-， (1)()cos ,sin ,s r r g f f g θθθ'''⨯=--.因为曲面S 是正则的，所以()0g s ≠，不妨设()0g s >. 因为s 是C 的弧长参数，所以221f g ''+=，0f f g g ''''''+=，r f g f g κ''''''-=-， (2)其中r κ是C 的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为()cos ,sin ,n f f g θθ'''=--.()cos ,sin ,s n f f g θθ''''''=--，()sin ,cos ,0n f θθθ'=-. (3)由(1)，(2)和(3)可知1E =，0F =，2G g =，r L κ=，0M =，N g f '=.根据定理4.3，S 的主曲率为1r κκ=，2/f g κ'=，Gauss 曲率为()r f f f g f g K g gκ''''''''-==. □ 4. 求双曲抛物面()(),(),2r a u v b u v uv =+-的Gauss 曲率K ，平均曲率H ，主曲率12,κκ和它们所对应的主方向.解. 因为(,,2)u r a b v =， (,,2)v r a b u =-.所以2224E a b v =++，224F a b uv =-+，2224G a b u =++.又()2(),(),u v r r b u v a u v ab ⨯=+---，)2(),(),n b u v a u v ab EG =+----，其中 22222224[()()]EG F b u v a u v a b -=++-+. 因为0uu r =，(0,0,2)uv r =，0vv r =，所以 20,L N M EG F ===-.于是()22222222222222216()()LN M a b a b K EG F b u v a u v a b EG F -==-=--⎡⎤++-+-⎣⎦， 22223/2223/22222224(4)4(4)()()()MF ab a b uv ab a b uv H EG F EG F b u v a u v a b --+-+===--⎡⎤++-+⎣⎦. 因为0M <，()()2222222222()()M F LN M EG FM EG H KEG F EG F ----==--2EG F -=-， 所以主曲率1223/2222222(4).2()()H ab a b uv b u v a u v a b κ=+⎡-++⎣⎦=⎡⎤++-+⎣⎦对应的主方向为1111:():()():du dv F M E L F M E κκκκ=---=--，11.F M κ-====. 所以:du dv ==同理，另一个主曲率为2223/22222222(4)(2()()ab a b uv M F EG F b u v a u v a b κ⎡-+--⎣⎦==-⎡⎤++-+⎣⎦， 对应的主方向为:u v δδ== □注. 由0L N ==可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向:du dv 和:u v δδ是参数曲线的二等分角轨线方程22Edu Gdv =的两个根.由此可得求解主曲率的另一方法：将du dv ==()()0E L du F M dv λλ-+-=，即 ()Edu Fdv Ldu Mdv λ+=+，得到对应于主方向:du dv =1Mdv Edu Fdv κ===+，以及对应于主方向:du dv =2κ=6. 在曲面:(,)S r r u v =上每一点沿法线截取长度为λ(足够小的正数)的一段，它们的端点的轨迹构成一个曲面S ，称为原曲面S 的平行曲面，其方程是(,)(,)(,)r u v r u v n u v λ=+，2(,)u v D ∈⊂.从点(,)r u v 到(,)r u v 的对应记为σ.(1) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的切平面互相平行；(2) 证明：对应σ把曲面S 上的曲率线映为曲面S 上的曲率线；(3) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的Gauss 曲率和平均曲率有下列关系：212K K H K λλ=-+，212H K H H Kλλλ-=-+. 证明. (1) 因为u u u r r n λ=+，v v v r r n λ=+， (1)所以2()u v u v u v v u u v r r r r r n r n n n λλ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯.当0λ=时，0u v u v r r r r ⨯=⨯≠. 因此对每一点00(,)u v D ∈，存在该点的邻域U D ⊂，使得当λ足够小时，0u v r r ⨯≠，从而S 是正则曲面.由(1)可见0,0u v r n r n ⋅=⋅=，所以在对应点S 和S 的切平面互相平行.(2) 设:(),()C u u s v v s ==是S 上的任意一条曲率线. 则由Rodriques 定理，有((),())((),())((),())n u s v s u s v s r u s v s κ''=-， (2)其中((),())u s v s κ是曲面S 在((),())u s v s 点的主曲率.对应σ把S 上的曲率线C 映为曲面S 上的曲线C ，它的方程为((),())((),())((),())r u s v s r u s v s n u s v s λ=+.因此()((),())((),())((),())((),())1((),())r u s v s r u s v s n u s v s r u s v s u s v s λλκ''''=+=-. (3) 上面已经证明了沿着C ，((),())n u s v s 也是S 的单位法向量. 结合(2)和(3)可得((),())((),())((),())1((),())u s v s n u s v s r u s v s u s v s κλκ''=--. (4) 根据Rodriques 定理，C 也是S 上的曲率线.(3) 用W 和W 分别表示曲面S 和S 上的Weingarten 变换. 设12,κκ是曲面S 在任意一点00(,)r u v 的两个主曲率，对应于1κ的主方向是:du dv . 则沿着该切方向，有1()dr W dr dn κ==-.另一方面，沿着该切方向，有1(1)dr dr dn dr λλκ=+=-.所以在曲面S 上 111()1W dr dn dr dr κκλκ=-==-. 这说明:du dv 是曲面S 在点00(,)r u v 的主方向，对应的主曲率是1111κκλκ=-. 同理，曲面S 在点00(,)r u v 的另一个主曲率是 2221κκλκ=-. 于是在对应点，曲面S 的Gauss 曲率和平均曲率分别为1212212(1)(1)12K K H Kκκκκλκλκλλ===---+， 121221212(1)(1)22(1)(1)12H K H H Kκκκλκκλκλλκλκλλ+-+--===---+. □ 注. 本题的结论是局部的：对每一点00(,)u v D ∈，为了保证S 是正则曲面，只能在该点的某个邻域U D ⊂上，取λ足够小，才有这些结论. p. 184 习题4.5 3. 研究习题4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况. 解. 管状曲面S 的参数方程为(,)()[cos ()sin ()]R s r s s s θλθβθγ=++，其中()r s 是一条弧长参数曲线，{}();(),(),()r s s s s αβγ是它的Frenet 标架，0λ>是一个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是κ和τ. 因为[cos ()sin ]s R αλθκατγτθβ=+-+-(1cos )(sin cos )λκθαλτθβθγ=-+-+，(sin cos )R θλθβθγ=-+，所以(1cos )(cos sin )s R R θλλκθθβθγ⨯=--+.取λ充分小，使得1cos 0λκθ->，从而S 是正则曲面，单位法向量为(cos sin )n θβθγ=-+.于是cos (sin cos )s n κθατθβθγ=+-，sin cos n θθβθγ=-， 2cos (1cos )L κθλκθλτ=--+，M λτ=，N λ=.由于2cos (1cos )LN M λκθλκθ-=--，并且(1cos )0λκλκθ->，所以(1) 当/2θπ=±时，0K =，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：/2()()()R s r s s πλγ=+和/2()()()R s r s s πλγ-=-.由于0N λ=≠，曲面上没有平点.(2) 当322ππθ<<时，0K >，这些点是椭圆点.(3) 当22ππθ-<<时，0K <，这些点是双曲点. □p. 190 习题4.62.(1) 证明：1cos ln cos ay z a ax=是极小曲面，其中a 是常数. 该曲面称为Scherk 曲面. (2) 证明：形如()()z f x g y =+的极小曲面必定是Scherk 曲面.(1) 证明. Scherk 曲面的参数方程为()1,,(lncos lncos )a x y ay ax r -=. 故()1,0,tan x r ax =，()0,1,tan y r ay =-，()tan ,tan ,1y x r r ax ay ⨯=-，)22tan ,tan ,11tan tan n ax ay ax ay =-++.()()22,0,0,0,sec 0,0,sec yy xx xy r r r a ay a ax ===-.因此22sec ,tan tan ,sec E ax F ax ay G ay ==-=，222sec a axL =，0M =，22sec a N -=由于20LG MF NE -+=，所以0H =，Scherk 曲面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为(),,()()r x y f x g y =+. 故()(),1,0,()0,1,()y x r r f x g y ''==，()(),(),1y x r r f x g y ''⨯=--，)22(),(),11()()n f x g y f x g y ''=--''++.()(),0,0,0,()0,0,()yy xx xy r r r f x g y ''''===.因此221(),()(),1()E f x F f x g y G g y ''''=+==+，22,0()()L M f x g y ==''++，21()N f x ='++. 由0H =得到0EN GL +=，即22()()01()1()g y f x f x g y ''''+=''⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦.上式可化为22()()1()1()f xg y f x g y ''''=-''++. (1)由于上式左边是x 的函数，右边是y 的函数，故只能是常数. 设此常数为a . 当0a =时，由(1)可知1()f x Ax C =+，2()g y By C =+，其中12,,,A B C C 是常数.于是该极小曲面是平面z Ax By C =++，其中12C C C =+. (不是Scherk 曲面)下面设0a ≠. 由(1)得2(1)f a f '''=+. 令arctan f ϕ'=，即tan f ϕ'=. 则有()22sec sec tan f a ϕϕϕϕ''''===.于是()x ax c ϕ=+. 在x 轴方向作一平移，可设0c =. 从而()tan()f x ax '=，积分得1()ln cos f x ax a=-.同理，由2()1()g y a g y ''=-'⎡⎤+⎣⎦可得1()ln cos g y ay a=.于是1cos ()()ln cos ayz f x g y a ax=+=. □4. (1) 证明：正螺面()cos ,sin ,r u v u v bv =是极小曲面.(2) 证明：形如x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的极小曲面必定是正螺面.(1) 证明. 因为()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v b =-， 所以1E =，0F =，22G u b =+.又()sin ,cos ,u v r r b v b v u ⨯=-，)21sin ,cos ,n b v b v u u b=-+，0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v v =-，所以0L =，M =，0N =.因此0H =，正螺面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为()(),,x y r x y f=. 故()11,0,x r y f -='，()20,1,y r xy f -='-，()12,,1y x r r y f xy f --⨯=''-，)124222,,11()n y fxy f y f x y ---=''-'++. ()20,0,xx r y f -=''，()230,0,xy r y f xy f --='''--，()3240,0,2yy r xy f x y f --='''+. 所以221E y f -'=+，32F xy f -'=-，2421G x y f -'=+，2y L -=，3M -=，4N -=. 由20LG MF NE -+=得到224262422(1)2()(1)(2)0y f x y f xy f y f x f xy y f y f x f -----'''''''''''+-++++=，[化简：24242222(1)2()(1)(2)0f x y f xy f y f x f xy y f y f x f ----'''''''''''+-++++=， 242242222233123[12(1)]22()0f x y f x y f x y y f xy f xy f y f -------''''''''+-++-++=，] 即有221(1)20f x y xy f --'''++=.如果0f '=，则(/)z f x y c ==. 它表示一个平面，不是正螺面. 设0f '≠. 则上式可化为12221f uv f u v --''=-'+， 即222ln |()|ln(1)1d df d d ϕϕϕϕϕϕ'=-=-++， 其中1xy ϕ-=. 所以2()1af ϕϕ'=+， 其中a 是积分常数. 再积分一次，得()arctan z f a C ϕϕ==+.通过在z 轴方向作一平移，不妨设积分常数0C =. 于是tan x z y aϕ==. 在xy 平面上取极坐标：cos ,sin x u v y u v ==，则2z v k a ππ=-+，即 (21)2a k z av π+=-+. 再次沿z 轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程()cos ,sin ,r u v u v bv =，其中b a =-. 它是正螺面. □6. 推导极小曲面(,)z f x y =所满足的微分方程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=.解. 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 故()1,0,x x r f =，()0,1,y y f r =，(),,1x y y x f f r r --⨯=，),,11x y x f f n f --=+. ()0,0,xx xx r f =，()0,0,xy xy f r =，()0,0,yy yy f r =.所以21x E f =+，x y F f f =，21y G f =+，xxf L =，xyf M =，f N =由20LG MF NE -+=得到22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=. □。