变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。

本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。

通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。

下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1. 变限积分的概念与理解1.1变限积分的定义[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也可积，于是，由x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,,uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()()[,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，.xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。

x1.2对变限积分基本概念的理解,x2sin;xdxsin;xdx 例题，计算(1)(2)(3)并由此说明不sin.xdx,,,0o 定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。

(,)xcsincos;xdxxc,,，解:(1)= I1,xxIxxdxcosxxx()sincos0cos1cos;,,,,,,, (2) 20,0,,,22Ixdx,,,,,,sincoscos0cos1. (3) 30,02xsinxdxsinxsinxdx 不定积分表示的含有任意常数的原函数;积分是,,0 ,2sinx上限变量的函数，也是的一个原函数;而定积分表示xsinxdx,0,sinxx,0一个数，它是的任意一个原函数在与两点处函数值之x,2差。

笼统地说，定积分是数，变上限积分是一个函数，而不定IIx()32 c,1积分是一族函数。

即为;此处取可得，;Ixc(,)III,Ixc()，111221,取时，，三者既有联系又有区别。

x,II,2322. 变限积分的性质2.1连续性:fx()[,]ab 若在上可积，则xb FxftdtGxftdt()(),()(),, ,,ax[,]ab在都连续.2.2可微性(原函数存在定理)fx()[,]abFxGx(),()[,]ab 若在上连续，则2.1中的在上可导且xd, ()()(),[,]Fxftdtfxxab,,,,adxbd, . ()()(),[,]Gxftdtfxxab,,,,,xdx[,]ab[,]abffG 这就是说:函数是在上的一个原函数;函数是在上的一F个原函数。

注:2.2建立了导数、积分这两个看起来似乎毫不相关的概念之间的内在联xftdt()系，它证明了“连续函数必有原函数”的基本结论，而且说明了,a f是的一个原函数。

此2.2的这个结论在微积分学中具有十分重要的地位，被称为“微积分基本定理”.2.2.1推论fx()[,]ab[,],,x,[,],,uxab()[,],ux()若在连续，在上可导且，，ux()[,],,Hxftdt()(),则在上可导，且 ,a,,Hxfuxux()(())(), .2.2.2推论fx()[,]ab[,],,x,[,],,ux()vx()ux()若在连续，、在上可导且，、ux()vxab()[,],[,],,Hxftdt()(),，则在上可导，且 ,vx(),,,Hxfuxuxfvxvx()(())()(())().,,2.2.3牛顿-莱布尼茨公式由微积分基本定理，我们还能得出一个重要的公式，即牛顿-莱布尼茨公式: [,]abFx()fx()[,]abf若函数在上连续，且是在上的一个原函数，则bbfxdxFbFaFx()()()(),,, a,a例1 下列计算是否正确,若有错，请订正.x22,dtx,, (1); ,edte,0dxsinx22d,,txsin (2); ,edte,0dx024d,,tx2.x (3)) ,edte2,xdxx22t,,tfte(),edt 解 (1)正确.因被积函数是连续函数，变上限定积分 ,0 2,tfte(),对上限变量求导数，就等于被积函数在上限变量x处的值，即,x22,,txedte,. ，，,0sinx (2)错误.因为上限是的函数，需要利用复合函数求导公式， xsinsinxx22dddxsin,,,ttxsin ,,edtedtexcos.，，,,00dxdxdxsin2x (3)错误. 因为下限是的函数，需转化为变上限函数积分求导x问题20x224dd,,,ttx ,,,,2.edtedtxe2,,x0dxdxx12,,,gx()fxfx(),(). 例2 设函数连续，且，试求 fxxtgtdt,,()()(),a2fx() 分析由于的变上限积分表示式的被积函数中出现了积分xd,fx()上限变量，故不能直接利用公式来求导数.,,()(),xtdtx,adxfx()需先将改写成积分的被积表达式中只含积分变元t的形式，在对其求导. x12 解 fxxtgtdt,,()()(),022xxxx12 = gtdtxtgtdttgtdt()()(),,，,,,000222xx,()()() fxxgtdtgx,，,022xx2()()() - tgtdtxgxgx,，,02xx =xgtdttgtdt()(),, ,,00xx，，,, fxgtdtxgxxgxgtdt()()()()().,，,,,,0,,o，，如果忽略了被积函数中含有积分上限变量这一事实，而硬套变上限积分求导公式，就会酿成错误结果:xd11,,22, fxxtgtdtxtgt()()()()()0.,,,,, ,,,tx,0dx22,,1dy2fx() 例3 设连续， (cos),求yfxtdt,,2,xsindx2解:令则因此uxtdtdu,,,,cos,.2 xx,1cos1cos22fxtdtfudufudu(cos)()()(),,,,2222,,,xxxx,,sincossinsin cos2xyfudu,(). 故 2,,sinxdy22,, 从而 )) ,fx(cos2)(cos2)(sin)xfx,,(sin),xdx2 =- 2sin2(cos2)(sin)2sincosxfxfxxx，,2，，fxfx(sin)2(cos2),,sin2x =) ，，1xdtdtxFx()()(0) 例4 设Fxx,，,,求. 22,,0011，，tt1xddtddt111x,,Fx(),，,，解:? ()222,,001dxtdxtx111，，，x1，2x111 =，? ()0,,2211，xx1，2xFxC(), 所以 (C为常数)11dtdt,1 而 Ft(1)2arctan,，,,0,,2200112，，tt, 所以 Fx(),22.3奇偶性xfx()[,],aa[,],aa 若在上可积且为偶(奇)函数，则Fxftdt()(),是上,0奇(偶)函数.xfx()[,]ab 证明:设Fxftdt()(),，其中函数在区间上可积. ,0fx()[,]ab若函数为上的奇函数，由变量替换有:xxx FxftdtfudufuduFx()()()()()(),,,,,,,, ,,,000Fx()即为偶函数;fx()[,]ab若函数为上的偶函数，由变量替换有:,xxxFxftdtfudufuduFx()()()()()(),,,,,,,,,， ,,,000Fx()即为奇函数。

fx()(,),,，, 例设函数在连续，且xFxxtftdt()(2)(),,, ,0fxfx()(),,FxFx()(),, 证明(1)若，则;fx()Fx() (2)若非增(即:<时，)，则非fxfx()(),xx1212减.,xFxxtftdt()(2)(),,,, 证明:(1) ,0x令tuxufudu,,,,,,,[2()]()() ,0x(2)()().xufuduFx,, = ,0xxd, (2) ()[()2()]Fxxftdttftdt,,,,00dxxxftdtxfxftfxdt()()(()()).,,, = ,,00fx() (?)当>0时，由非增可知: xftfx()()0,,tx,[0,] ，因此x, Fxftfxdt()(()())0,,,; ,0ftfx()()0,,tx,[0,] ,因此 (?)当x<0时，有0, Fxfxftdt()(()())0.,,, ,x,xFx,,,，,,(,),()0.再利用拉格朗日中综上所述，对任意的值定理，当<时，有 xx12, FxFxFxx()()()()0,,,,,,2121Fx() 则非减.2.4单调性xfx()[,]abfx()([,]),,xab[,]abFxftdt()(), 若在上可积且>0，则在上,a 是单调递增函数.xfx()[,]abfx()([,]),,xab[,]abFxftdt()(), 若在上可积且<0,则在上,a是单调递减函数.证明:2.4.1积分第二中值定理由变限积分的可微性及单调性我们又可得到积分第二中值定理[,]abf 设函数在上可积，则[,]ab,,[,]abgx()0, (1)若函数在上单调减少，且，则存在，g使得b,fxgxdxgafxdx()()()(), ; ,,aa[,]ab,,[,]abgx()0, (2)若函数g在上单调增加，且，则存在，使得bbfxgxdxgbfxdx()()()(), . ,,,a2.4.1.1推论[,]ab,,[,]abf 设函数在上可积，若g为单调函数，则存在，使得bb,fxgxdxgafxdxgbfxdx()()()()()().,， ,,,aa,2.5周期性fx() 以T为周期的连续函数的原函数以T为周期的充分必要条件是Tfxdx()0., ,0x0gx()(,),,，, 例设是在内以T为周期的连续函数，则gtdtgtdt()(), ,,,0x 也以T为周期。