事件 X ai 的概率为pi , 即:
P X ai pi ,
⑴
满足
pi 0i 1,2,
, pi 1.
i 1

称⑴式为随机变量 X 的分布（分布律）, 又称为概率函 数. 上式又可用表格的形式给出:
X a1 a2 P p1 p2
an
pn
.
注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率 为零的项不必列出.
第二章 离散型随机变量及分布
本章要点 本章引入随机变量的概念, 讨论几种类型的随机变量 及相应的分布. 主要内容有: 一、一维离散型随机变量及分布 二、一维离散型随机变量的常用分布 三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布 四、随机变量的独立性 五、随机变量函数的分布
一、随机变量
1.随机变量 例1 设随机试验 E 为抛硬币试验, 我们以符号H表示出 现的是正面, 符号 F表示出现的是反面, 为了更好的刻画 这类随机试验, 我们 用一个数对应一个试验的结果，由 此引入一个变量 X
钉包成一包出售, 并保证若发现包内多于一个次品就可
退款. 问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？ 解 由条件, 以 X表示包内螺丝钉为次品的件数, 则包
同理,
2 P X 2 , 5
及
2 P X 3 . 5 从而随机变量 X的分布律为
X P 1 1 5 2 2 5 3 2. 5
例 设袋中有5球, 编号分别为
1, 2,3, 4,5,
从袋中随
机地取3个球, 以 X 表示取到的3个球中的最大编号,求
X
解
的分布律.
X
的取值为
3, 4,5.
P X 8 P X 8 P X 9 P X 10
C 0.95 0.05 C 0.95 0.05 0.95
8 10 8 2 9 10 9 1
10
0.9885.
例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01, 并设 各个螺丝钉是否为次品是独立的. 这家公司将10个螺丝
X
B n, p .
在概率论中, 二项分布是一个重要的分布. 在许多独
立重复试验中, 都具有二项分布的形式.
0 1 分布是二项分布在
n 1 时的特殊情况.
例6 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问 至少有8人治愈的概率有多少？ 解 设 X 为10人中治愈的人数，则 X
B 10,0.95 ,
对应的概率可以表示为
P A P 0 X 1000 .
二、概率函数
在上节的几个例子中, 我们看到问题中所涉及的几个 随机变量的取值为有限多个或“可列”多个, 这类随机 变量称为离散型随机变量.
1.离散型随机变量和概率函数 设 X为离散型随机变量,
X 的可能取值为
a1, a2 , , an , ,
引入了随机变量以后, 随机事件及相应的概率可以用 随机变量方式加以刻画. 例如, 某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时
间应该不小于1000 小时. 此时 0, .
记 A表示“取到的一只产品是不合格品”, 再以 X表 示取出的灯泡的寿命, 则事件
Hale Waihona Puke A可以表示为 A 0 X 1000.
X 0,1, 2,
,10.
例3 设随机试验 E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时 所进行过的射击次数. 则 X 的取值为1,2,
, n, .
将上面的问题一般化, 我们引入下面概念.
定义
设 E为随机试验,
为样本空间, 定义在上的函
数称为 上的（一维）随机变量. 记为
R, X : i X i .
, n, 相应的概率为:
P X k
分布律为
X P 0
k Cn
p 1 p
k
nk
k 0,1,
k C p 1 p
k n k
n .
⑸
1
n
n
nk
1 p
C p 1 p
1 n
n 1
p
n
.
⑹
其中 p为事件A发生的概率. 则称 X 服从参数为 n, p 的 二项分布, 记成
X
X P
的分布律为：
1 1 P X 3 3 . C5 10
C32 3 P X 4 3 . C5 10
3
4
5
1 3 6. 10 10 10
C42 6 P X 5 3 . C5 10
例
设随机试验 E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时
所进行过的射击次数. 则 X 的取值为1,2,
, n, .
设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律 及
P X 3 .
X 1 2 n 0.2n1 0.8
解： 分布律为
P 0.8 0.2 0.8
P X 3 0.8 0.2 0.8 0.22 0.8 0.992.
三、常用离散型随机变量
⑴ 0 1分布 若随机变量 X的取值为0, 1, 相应的概率记为
1 出现正面, X 0 出现反面.
例2 设随机试验 E为一次打靶试验, 其基本结果是中与 不中. 同样可以引入变量: 1 击中目标,
X 0 未击中目标.
也有很多试验，其结果本身就用数来表示的. 例如 在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产 品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以 引进变量 X 来表示其中的次品数，其取值为
P X 1 p, P X 0 1 p 0 p 1 ,
则称服从 0 1分布. 记为
⑶
X
分布.
B 1, p .
一个只有两个基本结果的随机试验, 都可转化为 0 1
习惯上, 0 1分布又常写成
X
0
1 p
P 1 p
,
⑷
⑵二项分布 在 n 重贝努利试验中, 若以 X 表示事件A在 n 次试验中 出现的次数. 则 X的取值为 0,1,2,
P X K
ai K
P X a .
i
其中 K 为某一实数集.
例4 设袋中有5球, 编号为1,2,2,3,3, 从袋中随机地 取一球, 以 X表示取到的球的编号, 求 X 的分布. 解 以 X 表示取到球的编号, 则 X的取值为1, 2,3. 因1
号球只有一个, 故
1 P X 1 . 5