余数：（1）余数＝ x(1 ≤x ≤n－1) ， 结论：至少有“商＋1”个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝0，
结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
3、 排列组合
排列：
Pnm＝A
mn ＝n(n－1)(n－2)
(n－m＋1)＝
n! (n－m)!
组合：
C
mn ＝
n(n－1)(n－2)(n－m＋1) m(m－1)(m－2) ××1
5、 归纳计数 n 个图形最多可把平面分成部分数： 1. 直线： 2＋2＋3＋ ＋n＝1＋1 n(n 1) 2 2. 圆： 2＋2＋4＋ ＋（2 n－1）＝2＋n(n 1) 3. 椭圆： 2 4 8 4(n 1) 2 2n(n 1) 4. 三角形： 2＋6＋12＋ ＋（6 n－1）＝2＋3n(n 1) 5. 长方形： 2＋8＋16＋ ＋（8 n－1）＝2＋4n(n 1)
计算板块
1、加法交换律： a b b a ， a b c a c b
2、加法结合律： a b c a b c
3、乘法交换律： ab b a ， abc acb
4、乘法结合律： abc abc
5、乘法分配律： a b c a b a c 6、“除法分配律”： a b c a c b c
a ba b a2 b2 ， a 1b 1 ab a b 1
a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
a3 b3 a b a2 ab b2 ， a3 b3 a b a2 ab b2
14、平方求和：12 22 n2 1 nn 12n 1
6
立方求和：13 23 n3 1 2 n2 1 n2 n 12
3、部分特殊数的分解：
999 33 37 ； 1001 71113 ； 10031759 ； 11111 41271 ； 10001 73137 ； 1995 35719 ； 2007 32 223 ； 2008 23 251 ；
2009 72 41 ； 2012 22 503 ； 2013 31161 ； 2014 21953 ； 2015 51331； 2016 25 32 7 ；10101 371337
4
15、整数裂项：1 2 2 3 nn 1 1 nn 1n 2
3
1 23 23 4 nn 1n 2 1 nn 1n 2n 3
4
13 35 2n 12n 1 1 2n 32n 12n 1 3
6
分数裂项：
1 1 2
2
1
3
1
nn
1
1
n
1
1
1
1 2
3
2
1 3
4
nn
1
1n
2
条。
② 角：一个角被分成 n 个互不重叠的小角（大于 0°，小于 180°），那么这个角共
包含的角数为：
1＋2＋3＋＋n＝Cn21
1 2
n(n
1)
个。
③ 三角形：一个三角形底边被从对顶点引的线把底边分成 n 个互不重叠的小线
段，那么这个三角形共包含的三角形数为： 1＋2＋3＋＋n＝Cn21
1 2
n(n
2
从 1 开始连续奇数求和：1 3 2n 1 n2
从 2 开始连续偶数求和： 2 4 2n nn 1
12、多位数乘法： M 9 9 M 10n 1
n个9
当 M 9 9 时，积的数字和为 9n
n个9
13、 a b2 a2 2ab b2 ， a b2 a2 2ab b2
1)
个。 ④ 长方形：网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数＝长边上所有线段数×
宽边上所有线段数。 ⑤ 正方形：一般的，一个长方形的长被分成 n 份，宽被分成 m 份（ n ≥m ，每小
格 均 为 相 等 的 正 方 形 ）， 那 么 这 个 长 方 形 中 正 方 形 的 总 数 为 ： n m＋(n－1)(m－1)＋ ＋(n m 1) 1 ． ⑥ 包含☆的长方形个数＝☆上线段数×☆下线段数×☆左线段数×☆右线段数 ⑦ 所有长方形的面积和＝长边上的所有线段的长度和×宽边上的所有线段的长度 和
通项公式： an a1 n 1 d ， an am n m d ，
项数公式： n an a1 d 1，
若 m n p q ， am an ap aq
求和公式： Sn a1 an n 2 ，
中项定理，奇数项等差数列： Sn an1 n
2
从 1 开始连续自然数求和： 1 2 n nn 1
（2）约数和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依 次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的 所有约数的和。
如： 21000 23 3 53 7 ，所以 21000 所有约数的和为 (1 2 22 23)(1 3)(1 5 52 53)(1 7) 74880 （3）求最大公约数与最小公倍数主要方法：短除法、分解质因数法、辗转相除法
19、重码数： ab101 abab， ab1001 ab0ab
abc1001 abcabc， ab10101 ababab
20、车轮数：1234 2341 3412 4123 1 2 3 41111
21、循环小数化分数：
·
0.a
a
，
··
0.a b
ab
，
··
0.a b c
abc
a
9
99
990
1 2
1 1 2
n
1
1n
2
16、缺 8 数：
12345679 9 111111111 ，
12345679 18 222222222 ，
···，
12345679 81 999999999 ；
12345679 8 98765432
17、走马灯数：
1
·
·
0.142857 ，
7
4
·
·
0.571428 ，
目录
计算板块 ................................................................................................................................................. 2 计数板块 ................................................................................................................................................. 5 数论板块 ................................................................................................................................................. 7 应用题板块 ...........................................................................................................................................11 几何板块 ...............................................................................................................................................15 行程板块 ...............................................................................................................................................21
1,1,2,3,5,8,13，······， an an1 an2
1,3,6,10,15,21，······， an
1 2
nn
1
计数板块
1、 容斥原理 二元容斥： A B＝A＋B－A B 三元容斥： A B C＝A＋B＋C－A B－B C－A C＋A B C
2、 抽屉原理
苹果数÷抽屉数 (n) ＝商……余数
n个9
一位截断作差：11
两位截断作差：101
三位截断作差：1001,7,11,13
n 位截断作差：10 01 ，及10 01 的所有约数
n1个0
n1个0
5、约数倍数 （1）约数个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次 数)加 1 后所得的和的乘积。
如:1400 严格分解质因数之后为 23 52 7 ，所以它的约数有 3 12 111 24个；
7、减法性质： a b c a b c
8、除法性质： a b c a bc
9、商不变性质： a b a mb m a nbn ， m 0, n 0
10、积不变性质： ab a mb m， m 0
11、等差数列相关：项数 n，公差 d ，首项 a1，第 n 项 an ，前 n 项和 Sn ，
7
2
·
·
0.285714 ，
7
5
·
·
0.714285 ，
7
3
·
·
0.4 28571，76·源自·0.8 57142
7
1428572 285714，1428573 428571，1428574 571428，
1428575 714285，1428576 857142，1428577 999999.