第三章 动量守恒定律和能量守恒定律概述：1、牛顿第二定律描述了力对物体作用的瞬间关系，物体瞬间获得响应的加速度，物体的运动状态已经开始发生变化，要使物体的运动状态继续变化，需要力的作用有一个过程。

本章从力的空间累积效应和时间累积效应出发，用动量和能量对机械运动进行分析。

2、由对一个质点的研究过渡到质点系的研究。

3、守恒定律是完美、和谐的自然界的体现。

动量守恒和能量守恒源于牛顿力学，但在牛顿定律不适用的领域，例如微观粒子及高能物理领域仍然适用，故它是自然界的一条基本定律。

3-1质点和质点系的动量定理一、 冲量 质点的动量定理牛顿第二定律的微分形式d d t =pF d d t =F p 22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ1.冲量：力对时间的积分，常以I 表示，并称⎰=21d t t t F I为在1t ～2t 时间内、力F 对质点的冲量，或简单说成F 的冲量。

说明：（1）.冲量,是一个矢量，大小为21d t t t =⎰I F ，方向是速度或动量的变化方向。

（2）.由于冲量是作用力的时间积分，必须知道力在这段时间中的全部情况，才能求出冲量。

实际上要知道力的大小和方向随时间变化是很困难的，必须采取近似处理。

F 为恒力（方向也不变）时，t =∆I F ；（高中的冲量定义） F 作用时间很短时，可用力的平均值F 来代替。

211d t t t t =∆⎰F F ，21t t t ∆=-2.动量（p ）是描述物体运动状态的物理量，有大小和方向，是一个矢量。

方向和运动速度的方向相同。

单位：㎏·ｍ/ｓ量纲：MLT －１。

3.质点的动量定理：在给定的时间间隔内，质点所受合力的冲量，等于该质点动量的增量。

22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ在直角坐标系中，质点的动量定理的分量形式：212121212121---t x x x xt t y y y y t t z zz zt I F dt m υm υI F dt m υm υI F dt m υm υ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰动量定理在打击和碰撞等情形中特别有用。

一般而言，冲力大小随时间而变化的情况比较复杂，所以很难把每一时刻的冲力测量出来．但若我们能够知道两物体在碰撞前、后的动量，那么根据动量定理，就可得出物体所受的冲量；若我们还能测出碰撞时间，那么也可以从冲量算出在碰撞时间内的平均冲力为21m m t ∆υ-υF =。

二、质点系的动量定理质点系内质点之间相互作用力是内力。

考虑由n 个不同质点组成的质点系，设第i 个质点受外力ex i F 和内力in i F 作用时，由动量定理有：()00d texin ii i i t t +=-⎰FF p p对质点系内所有质点求和：()0001110011d d d nn nt t t ex in ex in i i i i t t t i i i n ni i i i t t t =====⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭-=-=∆∑∑∑⎰⎰⎰∑∑F F F F =p p p p p因为对质点系的内力有10nin i i ==∑F ，则001d n tex i t i t =⎛⎫=-=∆ ⎪⎝⎭∑⎰F p p p质点系的动量定理：系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量。

说明：1. 内力只能在系统内各个物体之间传递动量，对整个质点系的总动量的改变不起作用的。

2. 对于无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成d d ex t =F p 或d d ex t=pF 。

表明作用系的合外力等于质点系的动能随时间的变化率。

3-2 动量守恒定律若系统所受的合外力为零，即01=∑=ni i F ，有i i 1ni m ===∑p υ常矢量。

这就是动量守恒定律，它的表述为：一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。

注意：1、动量是矢量，系统的动量是指系统内所有质点的动量之矢量和，而一般不指代数和。

系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。

2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。

3、动量守恒可在某一方向上成立，即分动量守恒。

4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。

5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。

6、动量守恒定律只适用于惯性系。

3-4 动能定理一、功1、恒力的功如图所示，一个质点M 在恒力F 的作用下，沿直线从a 点运动到b 点，位移为s ，力F 与位移ｓ之间的夹角为θ。

则在这个过程中，力F 在位移s 上的功W 等于力的大小F 、质点位移s 的大小以及力与位移之间夹角余弦cos θ的乘积。

根据矢量标积的定义，功的定义可以改写为：cos W Fs θ=⋅F s =注意：功是过程量，上面对功定义仅适合于（1）沿直线运动的质点,（2）作用力为恒力。

2、变力作用下的曲线运动的功元功： d d W =⋅F r总功： d d cos d BBAAW W F r θ==⋅=⎰⎰⎰F r在直角坐标系中，F 和d r 可以分别写成x y z F F F ++F =i j k ，d d d d x y z ++r =i j kd d d d x y z W F x F y F z ++=d d d Bx y z AW F x F y F z ++⎰=若质点同时受几个力1F ，2F ，…，n F 作用，质点在这些力作用下由a 点沿任意曲线运动到b 点，则()()()()()()121212d d d d d nbbbn a L a L a L bn a L bhe a L W W W W +++=⋅+⋅++⋅=+++⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰=F r F r F rF F F rF r结论：当几个力同时作用在一个质点上，这些力在这个过程中对质点所作的功的总和，等于这些力的合力在同一过程中对质点所作的功。

3、功率（P ）：功随时间的变化率叫做功率，用P 表示，则有d d WP t=说明：（1） 功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W ，且1kW =103W 。

（2） d d d d W P t t==⋅=⋅rF F υ。

例题1：物体在水平面上运动，摩擦力做的功。

解：这是一个物体沿曲线运动但力的大小不变的例子，摩擦力的大小为smg ds mg w sμμ-=-=⎰0μmg f =，方向与位移相反，故：整个过程所作的功为：即摩擦力作功与路程有关。

力对物体作功，是力的空间累积效应，物体的运动状态发生变化，二者之间有何关系？二、质点的动能定理d d d cos W F r θ=⋅F r =cos t F F θ=d d t t υF ma mt== d d d d d υW mr m υυt== 222111d d 22BAW W m υυm υm υ===-⎰⎰定义： 212k E m υ=叫做质点的动能。

则 21k k W E E =-质点的动能定理：物体动能的增量数值上等于合外力对物体所做的功。

注意：（1）功与动能的区别和联系。

功是力的空间累积效应是一个过程量，而动能是一个状态量，但功是动能变化的量度。

（2）动能定理仅适用惯性系。

例1：质量为1.0 kg 的小球用1.0m 的细绳悬挂在O 点，起始时与垂直线呈030角释放，求010角时小球的速率。

解：由题知合外力的功为：由动能定理有：得sd P s d F s d F dW T⋅+⋅=⋅=0=⋅s d F T ds P ds P s d P θϕsin cos ==⋅θθθd mgl dW ld ds sin -=-=()0cos cos sin 0θθθθθθ-=-=⎰mgl d mgl W ()202121cos cos mv mv mgl W -=-=θθ()15312-⋅=-=s m gl v .cos cos θθdsmg r d F dw μ-=⋅=P小结：1、注意当力不是一维时，应用动量定理要用其分量式。

即先求分量，再合成求总量（这是将矢量运算化为标量运算的常用方法）。

若直接用矢量式，一定注意是矢量合成。

2、对一个系统用动量守恒时，要判断守恒条件是否满足。

3、计算变力作功时，d W 应是过程中任意位置附近的元功。

3-5保守力与非保守力 势能一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1、重力的功重力的功只与始、末位置有关，而与质点所经的路径无关。

2、万有引力的功以m '为参考系，m 的位置矢量为r ，m '对m 的万有引力为m 由A 点移到B 点时F所作的功为：万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，而与所经过的路径无关。

3、弹性力作功zmg r P W BAz z BAd d ⎰⎰-=⋅= )(A B mgz mgz --=rr m m G F3'-=rr r r r r d cos d d ==⋅ϕ ⎰-=BAr r r rmm GW d '2⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=)'()'(A B r m m G r m m G W⎰⎰⋅-=⋅=B Arr r m m G r F Wd 'd 3弹性力作功只由起始和终了位置决定，与过程无关。

二、保守力和非保守力 保守力作功的数学表达式保守力:力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置. 保守力作功特点的数学表述：物体沿闭合路径运动一周时,保守力对它所作的功等于零 .非保守力:力所作的功与路径有关.（例如摩擦力）1.势能势能：与物体间相互作用及相对位置有关的能量。

保守力作功与势能改变量的关系：保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。

三种常用的势能： 重力势能引力势能弹性势能注意：（1）势能是状态的函数。

（2）势能的相对性。

以上三种势能函数各有确定的势能零点。

用时要注意。

（3）势能属于系统。

3-6 功能原理 机械能守恒定律一、质点系的动能定理如图为一个质点系，对第i 个质点运用动能定理，有：d =⋅⎰lr Fmgz E =p rm m GE 'p -=1m 2m im exi Fini F 0k k in ex i i i i E E W W -=+P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2p 21kx E =其中exi W 表示外力功，ini W 表示内力功。

对质点系有：质点系动能定理：作用于质点系的力所作的功，等于质点系的动能增量。

二、质点系的功能原理作用与质点系的内力可分为保守内力和非保守内力，即：根据保守内力作功与势能增量的关系有：代入质点系的动能定理，整理有：动能与势能统称为机械能，用E 表示： 上式可写为：质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和 .三 、机械能守恒定律如果满足：0ex W =，0inncW = 则： 机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变。