绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),nniii i s x x x x nn===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 。
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。
-202.已知向量a 和向量b 的夹角为30o，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅ = 。
【解析】 考查数量积的运算。
32332a b ⋅=⋅⋅=3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
4.函数s i n (y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
【解析】 考查三角函数的周期知识。
32T π=，23T π=，所以3ω=，5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。
从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = .【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。
甲班的方差较小，数据的平均值为7， 故方差222222(67)00(87)0255s -+++-+==7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = . 【解析】 考查读懂算法的流程图的能力。
228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【解析】 考查类比的方法。
体积比为1：89.在平面直角坐标系xo y 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15）10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 .【解析】考查指数函数的单调性。
51(0,1)2a -=∈，函数()xf x a =在R 上递减。
由()()f m f n >得：m<n11.已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = .【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题．．．的序号是(1)(2) 13．如图，在平面直角坐标系xo y 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段O T 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。
以及直线的方程。
直线12A B 的方程为：1x y ab +=-； 直线1B F 的方程为：1x y c b+=-。
二者联立解得：2()(,)a c b a c T a ca c+--，则()(,)2()acb ac M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上，2222222()1,1030,1030()4()ca c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，解得：275e =-14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+= ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。
等比数列的通项。
{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b.【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。
满分14分。
16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。
求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A F D ⊥平面11BB C C .【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。
满分14分。
17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足222223457,7a a a a S +=+=。
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。
满分14分。
（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =,(2)（方法一）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---,设23m t -=，则12m m m a a a ++=(4)(2)86t t t tt--=+-, 所以t 为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项，故m +28 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即经检验，符合题意的正整数只有2m =。
18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。
【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。
满分16分。
(1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --= 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离22234()12d =-=，结合点到直线距离公式，得：2|314|1,1k k k ---=+化简得：272470,0,,24k k k or k +===-求直线l 的方程为：0y =或7(4)24y x =--，即0y =或724280x y +-=(2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：1(),()y n k x m y n x m k-=--=--，即：110,0kx y n km x y n m kk -+-=--++=因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。
由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。
故有：2241|5||31|111n m k n km kkk k--++--+-=++，化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=⎧⎧⎨⎨--=⎩⎩m-n+8=0或m+n-5=0解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。