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二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法
例1.已知椭圆方程为
x
2
y2
+
=1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
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变式训练1：
若椭圆x 2 + y 2 =1的离心率为1/2，求m的值.
∠F1MF2=900，求此椭圆的 离心率的
Y
范围
M
问题的关键是寻 找a、c的不等关 系2020/12/27
F1 O F2
X
11
1、从等式中找不等式：先找a、c的等 量关系，再利用基本不等式（放缩）或 椭圆的x、y的范围找到a、c的不等式。
2、直接找a、c的不等关系，包括与b的 不等关系。
反馈练习
1、设椭圆
P M
F1
O F2
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六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
x2 a2
y2 b2
1ab0上有点P使
∠OPA=900（A为长轴的右焦点，O为
2坐020/12/2标7 原点），求离心率的范围。
12
ห้องสมุดไป่ตู้ y x2
2
椭圆 a 2 b 2 1 (a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、
F2 (c,0)，满足→MF1·→MF2 =0的点M总在椭圆内
部，则e的取值范围？
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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A(a,0)
o F(c,0)
x
B1 (0，-b)
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例题讲解
例1、如图所示椭圆的中心在原点，焦 点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴， PF2∥AB，求此椭圆的Y离心率；
PB
A
F1
F2
X
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四.高考链接
（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 (a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x= 3 a
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、椭圆a2 (x2) +b2 (y2)=1(a>b >0)的两焦点为
F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点， 且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？
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椭圆a2 (x2) +b2 (y2)=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P 的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？
9 m 9
3. 已知a2、c2直接求e2
e2
c2 a2
4. 已知a2、b2不算c直接求e
b2 e 1
a2
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题型二：方程法 例2.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点 ，且
AF1⊥AF2 ， ∠AF2 F1 =60°，求该椭圆的离心率。
y A
60°
F1(-c,0)o F2(c,0)
x a
2 y2
2 + b 2 =1 上一点，
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
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x=3a/2
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例2、设M点是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
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1
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2
为
2。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
1
形，则其离心率为 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
1
离心率为 3
。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
2020/1则2/27 其离心率e=_____5 _____
x
依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式， 解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0<e<1
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变式训练2：
椭圆 x
a
2 2
y2
+b2
=1(a>b>0)的三个顶点为B1
(0，-b)，B2 (0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且
B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。
y B2 (0，b)