x
f ( x)dx
a
在(a, b)内可导，且F'( x) f ( x).
(五)牛顿-莱布尼兹公式
设f ( x) C[a, b], F ( x)是f ( x)的 一 个 原 函 数，则
b a
f
( x)dx
F(x)
b a
F (b)
F (a)
(六)定积分计算
1.变 量 置 换 法
f ( x) C[a, b], 设x (t)满足a ( ),
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
定积分的值等于各部分面积的代数和． y
A1
a
A2
A3
A5
A4
bx
(三)定积分的性质
1）
b
kf
(
x)dx
k
b f ( x)dx , k为常数.
a
a
2）
b
(
f
(
x)
g(
x))dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
a
3） a f ( x)dx 0 a
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
(四)变上限定积分
设f ( x) R[a, b], F ( x)
x
f ( x)dx
a
x [a, b], F ( x)称为变上限定积分。
2）若f ( x) C[a, b],则F ( x)
8. csc2 xdx cot x C
9.
1
1 x2
dx
arctan
x
C
1
10.
dx arcsin x C 1 x2
11. tan x secxdx secx C
12. cot x csc xdx csc x C
13.
a2
1
x2
dx
1 a
arctan
x a
C
14.
记 作 f ( x)dx F ( x) C
(二)基本性质
1. F'(x)dx F(x) C 2. ( f (x)dx)' f (x)
3. kf (x)dx k f (x)dx , k 0 4. ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx
(三)基本公式
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
(a x)a x ln a
d(a x)a x ln adx
(e x)e x
a2 x2
(四)计算方法
1.利 用 基 本 公 式
2. 凑微分法
g(( x)) '( x)dx g(( x))d( x)= g(u)du
3. 第二换元法
令x (t )
f ( x)dx f ((t ))'(t )dt
F (t ) C F ( 1( x)) C
4.分 部 积 分 法
b ( ),a (t) b,'(t)连续，则
b
a f ( x)dx f ( (t))'(t)dt
2.分 部 积 分 法
b
u(
a
x)dv(
x)
u(
x)v(
(6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x
(14) (arccos x) 1 1 x2
(8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex
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(15)
(arctan x) 1 1 x2
(16)
(arc cot x) 1 1 x2
4） b f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
b
5） b f ( x)dx
c
f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
c
6）若f (x) g(x) , x [a, f (x)dx a g(x)dx;.
8） 估 值 定 理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
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三、微分公式与微分运算法则
•导数公式
当 d y f (x)d x 时, 有 f (x) d y .
•微分公式
dx
(x m)m x m1
d(x m)m x m1dx
(sin x)cos x
d(sin x)cos xdx
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
(a 0) (a 0)
15. secxdx ln tan x secx C
16. csc xdx ln cot x csc x C
17.
1 a2 x2
dx
1 ln a x 2a a x
C
18.
1 dx ln( x a2 x2 ) C
1. xdx 1 x1 C ( 1)
1
2.
1 x
dx
ln
x
C
3. e xdx e x C
4. axdx 1 ax C (a 0, a 1) ln a
5. sin xdx cos x C
6. cos xdx sin x C
7. sec2 xdx tan x C
d(e x)e xdx
C 0,
d C 0dx
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六.不定积分
(一)基本概念 1.原函数
若在区间I上F'( x) f ( x)，则称F( x) 是f ( x)在区间I上的一个原函数。
2.不定积分
f ( x)的 全 体 原 函 数F ( x) C， （C为 任 意 常 数 ） 称 为f ( x)在 区 间 上 的 不 定 积 分 ，
微积分 (下) 总复习
•基本初等函数的导数公式小结
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x
(11)
(log a
x)
1 x ln
a
(12) (ln x) 1 x
(13) (arcsin x) 1 1 x2
udv uv vdu
七.定积分
(1)
A
定积分的值等于曲边梯形面积；
(2)
定积分的值等于曲边梯形面积 的负值；
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A
a b
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１.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.
f (x) 有时为正，有时为负时．