反三角函数的概念和性质
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一．基础知识自测题：
1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] .
3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是.
4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是(0, π) .
5．arcsin(－)＝
; arccos(－)＝; arctg(－1)＝
; arcctg(－)＝.
6．sin(arccos)＝
; ctg[arcsin(－
)]＝;
tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝
.
7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝
.
8．若sin x＝－, x∈(－
, 0)，则x＝.
9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.
二．基本要求：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－
，], y＝
arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；
3．符号arcsin x可以理解为[－，
]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－
，]上的一个实
数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，
], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－
，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；
6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；
7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝
的应用。
例一．下列各式中成立的是（C）。
（A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－
)＝－
（C）sin[arcsin(－)]＝－
（D）arctg(tgπ)＝
π
解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－
)∈[0, π],
(D)中，arctg(tgπ)∈[－
, ], 而π[－，], ∴
(A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[,
]
（C）y＝sin x,
x∈[,] （D）y ＝sin x,
x∈[,]
解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间
[,]上是单调递减函数，所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π
解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－
, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－
, ], 所以选C。
例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[,
];（2）f(x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[,
], 2x∈[, ], 2x－π∈[－
, ], －
2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－
, ∴ 2x－π＝arcsin(－
),
∴ x＝－
arcsin, ∴ f－1(x)＝
－arcsin, －2≤x≤2, y∈[,
].
(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－
, ],
y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－
), x＝cos(y －)＝sin y,
∴f－1(x)＝sin x ,
x∈[,],
y∈[－, ].
例五．求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x －1),
解：(1) y＝arccos,
0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0,
).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴
≤x≤, 由于－x2＋1＝－(x－)2＋
, ∴ －1≤－x2＋
x≤, ∴ －
≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－
1)<, ∴ x∈R, y∈(0,
).
例六．求下列函数的值域：
(1) y＝arccos(sin x), x∈(－,
); (2) y＝arcsin x＋arctg x.
解：(1) ∵x∈(－,
), ∴ sin x∈(－
, 1], ∴ y∈[0,
).
(2) ∵y＝arcsin x＋arctg x., x∈[－1, 1], 且arcsin x与arctg x都是增函数,
∴ －
≤arcsin x≤, －
≤arctg x≤,
∴ y∈[－,]. 例七．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝x arcsin(sin x); (2) f (x)＝－arcctg x. 解：(1) f (x)的定义域是R，f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝x arcsin(sin x)＝f (x), ∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝
－(π－arcctg x)＝arcctg x－
＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函数.
例八．作函数y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π]的图象.
解：y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π],得, 图象略。
例九．比较arcsin,
arctg, arccos(－
)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>,
∴arccos(－)最大,
设arcsin＝α，sinα＝
, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝
<sinα, ∴ β<α,
∴ arctg<
arcsin< arccos(－
).
例十．解不等式：(1) arcsin x<arccos x; (2) 3arcsin x－
arccos x>.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsin x＝arccos x, 又arcsin x是增函数,arccos x是减函数，
∴ 当x∈[－1, )时, arcsin x<arccos x. (2) ∵ arccos x＝－arcsin x, ∴ 原式化简得
4arcsin x>, ∴ arcsin x>＝arcsin,
∵ arcsin x是增函数, ∴ <x≤1.
三．基本技能训练题：
1．下列关系式总成立的是（B）。
（A）π－arccos x>0 （B）π－arcctg x>0 （C）arcsin x－≥0。